Когда сталкиваешься с алгебраическими формулами, возникает вопрос истинности (соответствует ли это законам логики) и целесообразности (для чего это).
Возьмём банальные примеры. Квадратные уравнения вида ax 2 + bx + c =0. Шанс, что кому-то что-то придётся считать по этой частной формуле ничтожно мал. Вопрос целесообразности: стоит ли вообще посвящать изучению квадратных уравнений столько времени? Вопрос истинности: что обозначает запись ax^ 2 + bx + c =0? Какие числа в этой формуле объектные, какие относительные, какие относительные второго порядка? Допустим, мы определились с индексами чисел. Возьмём конкретное уравнение x^ 2 +3 x -4=0. Уже в этом виде уравнение содержит логическую неопределённость. Нельзя вычесть из системы всё. Во всех подобных случаях мы вычитаем часть из целого, более крупной системы, и это должно быть оговорено. Логически правильно данное уравнение должно иметь вид xo xr+3 o xr =4 o . В алгебре данное уравнение имеет два корня: -4 и 1. Логически умножение не имеет смысла в относительных системах, и, значит корень -4 не имеет смысла. Умножение на 1 логически невозможно в постоянных системах. То есть, логически правильным будет только ответ 1 в абсолютных переменных системах.
Другой пример. Факториал n ! Допустим, 4! =1*2*3*4. Вопрос: для чего мы выделяем всю эту редкую последовательность умножения в отдельный вид алгебраических действий? Для красоты? Каков шанс, что такая последовательность встретиться нам в реальной жизни? Стоит ли ради этого городить огород?
Ещё пример. Формула ab = ba . Казалось бы, ну чего проще и яснее. Тем не менее, одно дело, когда aobr= br ao, другое дело, когда ao br= bo ar. Например, в постоянных системах 1 o ×5 r логически возможно, а 5 o ×1 r – нет. В формуле разницы квадратов ab и ba независимые друг от друга величины, одна из которых является частью a^ 2 , а другая нет, первую мы можем вычесть из a^ 2 , но не можем к ней прибавить, вторую можем прибавить, но не можем вычесть. Не можем мы и вычесть ab из ba и наоборот, это независимые друг от друга величины. В формуле квадрата разницы ab и ba – пересекающиеся величины, с ними мы логически почти ничего сделать не можем. Можно вычесть или ab , или ba из a ^ 2 , далее проблемы, как увязать алгебру с логикой. И это всё лишь вершина айсберга логических неувязок в алгебре. На самом деле логических ошибок в алгебре неизмеримо больше, не говоря уже о целесообразности многих формул.