Что такое число е?
Наряду с число пи и √ 2, число e является иррациональным, то есть не может быть записанным с помощью дроби. Но в отличие от ранее описанных констант не имеет как такого геометрического смысла.
Впервые число е вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода . Суть задачи заключалось в следующем допустим, что мы вкладываем в банк 1 доллар, при ставке 100% годовых в конце года у нас будет 2 доллара.
Но это только если проценты капитализируются (прибавляются) раз в год. А что если они будут капитализироваться два раза в год? То есть будет начисляться по 50% каждые полгода, причем вторые 50% будут начисляться уже не от начальной суммы, а от суммы, увеличенной на первые 50%. В таком случае 1*1,5*1,5=2.25, что уже явно больше. Если капитализацию проводить каждый месяц то конечный результат будет равен 1*(1+1/12)^12, что примерно равно 2,61 доллара. И так допустим мы будем проводить капитализацию n раз в год, тогда конечным результатом будет (1+1/ n )^ n . Для n =365, ответ будет 2,71; что уже достаточно близко к число е.
Рост n можно продолжать бесконечно и чем больше будет его значение, тем точнее мы сможем вычислить число Эйлера, вплоть до необходимого нам, по какой-либо причине, знака после запятой. И записываться будет
Впервые обозначение "е" ввёл Леонард Эйлер (1707-1783). Он также вычислил точные 23 десятичные знака этого числа. К тому же он ввел новую формулу для определения числа e , доказывающую его иррациональность(бесконечная дробь):
Уникальные свойства числа Эйлера
Число «е» является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. И на то есть причины. При построении графика функции y = e^ x , которую так же называют экспонентой, выясняется поразительный факт: не только y равен e^x, этому же показателю равна производная кривой и площадь под кривой, то есть площадь под кривой от определенного значения y до минус бесконечности.
(Число е применяется и в других науках, так например рост популяции бактерий в благоприятных условиях будет возрастать по экспоненте.)
Экспоненту можно выразить с помощью ряда Тейлора:
Логарифм, как предпосылка Числа Эйлера
Изобретение в XVII веке логарифмов шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий истории математики. Кратко определение логарифма звучит:
Логарифм числа. по основанию определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число.
Логарифмы позволили ученым в разы уменьшить время, обычно затрачиваемое для громоздких вычислений. В общем и целом, логарифмы упрощали вычисления – опускали их на один уровень ниже по шкале сложности. Вместо умножения и деления приходилось совершать операции сложения и вычитания. А это намного эффективнее.
Основанием логарифма может быть любое число (например, 2 или 10), но, именно благодаря уникальным свойствам числа Эйлера логарифм по основанию е называется натуральным. Он значительно упрощает жизнь ученым, работающим в самых разных областях.
Ко всему прочему е известно объединением всех констант в одной формуле – формуле Эйлера, опубликованной в 1740 году. Где i -корень из минус единицы.
