«Ни в одной другой области математики не совершают досадных промахов с такой лёгкостью, как в области теории вероятностей» (Мартин Гарднер)
Мне лично особенно нравятся задачи, в которых житейский здравый смысл вступает в противоречие с законами природы и таки не даёт правильно решить задачу. Такова, например, была задача про огурцы.
Нынешняя (хотя и довольно старая) задача из этого разряда, только напор здравого смысла ещё более сокрушителен. Большинство здравомыслящих людей не только не могут её правильно решить, но многие не могут понять и принять правильное решение.
Задача Монти Холла.
В телевикторине участники должны выбрать одну из трех дверей. За одной дверью находится машина, за двумя другими нет ничего. Участник выбирает дверь, а ведущий, которому известно, что находится за каждой из дверей, открывает одну из оставшихся, конечно всегда пустышку. Затем он говорит участнику: «Вы смените дверь или выберете другую?».
Вопрос, который мы рассмотрим - выгодно ли участнику сменить дверь или выгодно оставить свой выбор?
Прежде, чем идти дальше, стоит подумать и ответить на этот вопрос. Оставлять дверь или менять? Или всё равно?
В 1990 году этот вопрос разделил Америку на два лагеря.
С одной стороны была Мэрилин вос Савант, вошедшая в «книгу рекордов Гиннеса» как человек с самым высоким уровнем интеллекта равным 228.
С другой стороны математики и читатели воскресной газеты, в которой Мэрилин высказала свою точку зрения на вопрос, менять или нет, дверь.
Она получила более десятка тысяч отзывов, из которых более сотни были написаны дипломированными математиками, докторами наук.
Если спросить американцев, согласны ли они, что:
- растения выделяют кислород,
- скорость света выше скорости звука,
- радиоактивное молоко не станет безопасным после кипячения,
то в каждом случае процент несогласных будет двузначным ( 13%, 24% и 35% соответственно). Но в данном вопросе американцы продемонстрировали единодушие: 92% заявили, что Мэрилин ошибается.
Негодование большинства вызвала стратегия, предложенная Мэрилин. Она предложила сменить дверь. Не оставить, не безразлично – оставить или сменить, а именно сменить, так как это повышает шансы на выигрыш.
«Какая чушь!» - писал один математик. «Поясняю: если за одной из трёх дверей машины не оказалось, то вероятность выигрыша при оставшихся двух дверях меняется и равна 1/2, причём ни один из вариантов не имеет большую вероятность. Как математик я очень огорчён общим низким уровнем математических способностей населения. Поэтому призываю вас помочь повысить этот уровень, признав свою ошибку, и впредь быть более аккуратной».
Отклики продолжали приходить в таких количествах и ещё столько времени, что Мэрилин сдалась. В своей колонке она какое-то время ещё отвечала на письма, но в конце концов перестала.
Но вот в чём дело: Мэрилин на самом деле была права.
Когда Полу Эрдешу, известнейшему математику двадцатого столетия, сказали об этом, он заявил: «Это невозможно». И уже ознакомившись с математическим доказательством правильности ответа, всё равно стоял на своём, даже рассердился. Только когда коллеги настояли на компьютерном моделировании ситуации, в результате чего Эрдеш стал свидетелем сотни вариантов с результатом 2 к 1 в пользу смены двери, учёный сдался, признав свою неправоту.
Объяснения, почему выгоднее изменить первоначальный выбор.
1. Короткое.
За двумя оставшимися дверями приз с вероятностью 2/3, за выбранной вначале - 1/3. Выбор сводится к выбору между одной дверью или сразу двумя оставшимися. Две лучше, чем одна.
2. Подробное.
Итак, вероятность того, что Вы сразу угадали, составляет 1/3.
Но вероятность того, что Вы не угадали, составляет 2/3. Вероятность того, что Вы не угадали, выше, не правда ли?
Но это означает, что выше и вероятность того, что машина находится за другой дверью, за дверью, которую Вы не выбрали.
Далее. Если бы ведущий не выводил из игры заведомо невыигрышную дверь, Ваши шансы при смене решения так и остались бы на уровне «один из трех». Но ведущий открывает пустую дверь, он исключает ее из Ваших дальнейших попыток.
Соответственно, есть один шанс из трех, что выбранная Вами дверь выигрышная и два шанса из трех, что машина стоит за другой дверью.
Поэтому Вам выгоднее поменять свое решение, выбрать другую дверь.
Конечно, существует вероятность, что Вы сразу угадали. И в этом случае при смене двери Вы проиграете. Но такая вероятность в два раза ниже, чем вероятность того, что поменяв дверь, Вы выиграете. Вот и все.
Меняйте свой выбор и выигрывайте!
Если Вы до сих пор не верите, то, как говориться, возьмите и проверьте.
Для проверки Вам понадобится надежный человек и три туза: один – черный и два – красных. Пусть Ваш приятель сыграет роль ведущего. Пусть он тасует эти три карты, так, чтобы Вы не видели. Потом пусть раскладывает их на столе так, чтобы он знал, какая из них черный туз. А когда Вы выберите карту, пусть Ваш приятель откроет одного из красных тузов.
Сделайте сто проб и запишите, сколько раз Вы выиграете, если будете менять свой первоначальный выбор. Затем проведите еще сто проб, но на этот раз не меняйте свой выбор. И снова запишите, в скольких случаях Вы выиграете.
Статистика телепередачи и компьютерное моделирование подтверждают, что те, кто меняет свой выбор, выигрывают в два раза чаще. Вуаля.
По книге Леонарда Млодинова «(Не)совершенная случайность».
