Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырехугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.
Решение:
a) △ BNO = △ BCO по гипотенузе и катету (ВО - общая, ОС = ОN = r). Тогда ∠ CBO = ∠ NBO, ∠ BOC = ∠ BON.
Пусть ∠ СBO = ∠ NBO = х, тогда ∠ ВОС = ∠ BON = 90°-х.
∠ MON = 180° - ∠ BON - ∠ BOC = 180° - (90°-x) - (90°-x) = 2x
△ MON - равнобедренный треугольник (MO = NO = r): ∠ NMO = ∠ MNO = (180°-MON)/2 = (180°-2x)/2 = 90°-x
Получаем, что ∠ NMO = ∠ BOC = 90°-x (соответственные углы при секущей AC) → MN || BO
б) По условию AM:MC = 1:3 → AM = y, MC = 3y, где y - одна часть → MO = CO = 1,5y
По свойству секущей AN² = AM·AC = y·3y = 4y² → AN = 2y
△ MNC - прямоугольный треугольник, так как одна из его сторон (МС) содержит центр окружности. Тогда cos ∠ MCN = NC/MC = 4/3y
△ ANC: AN² = AC² + CN² -2·AC·CN·cos ∠ ACN
4y² = 16y² + 16 -2·4y·4·(4/3y)
y = √20/3
△ AON: cos ∠ OAN = AN/AO = 2y/2,5y = 4/5
sin² ∠ OAN = 1 - cos² ∠ OAN → sin ∠ OAN = 3/5
S △ AMN = 1/2·AM·AN·sin ∠ OAN = 4/3
△ AMN~ △ AOB ( ∠ A - общий, ∠ AMN = ∠ AOB - соответственные при MN || OB и секущей АС )
k - коэффициент подобия
k = AO/AM = (2,5y)/y = 2,5
S △ AOB/S △ AMN = k² = 6,25
S △ AOB = k²·S △ AMN = 25/3
Пусть S - площадь четырехугольника BOMN, тогда S = S △ AOB - S △ AMN = 25/3 - 4/3 = 21/3 = 7
Ответ: б) 7