"Ибо какая от этого польза бедным заочникам?"
(Цитата, но не Евангелия от Матфея)
Любые модели только тогда и полезны, когда им соответствуют полезные прототипы. И математические модели здесь не исключение.
Что такое мера в математике? Это то общее, что есть между свойствами длины, площади, объема, массы, заряда. Она удовлетворяет определённым аксиомам.
Сигма-алгебра – это множество, замкнутое относительно некоторых операций. Что значит замкнутое? А вот что: сколько бы мы не выполняли эти операции над элементами такого множества, какие бы комбинации из них не составляли, мы никак не получим элемента, который бы не являлся элементом этого же самого множества.
Практически это означает, что все теоремы, доказанные для элементов такого множества справедливы и для любого, вновь сконструированного элемента. Очень, очень математики любят свойствыо замкнутости! Оно позволяет транслировать математические знания в заоблачные горизонты.
Что означает красивая и загадочная приставка «сигма»? Просто то, что во множестве счетное число элементов, хотя и бесконечное. Удобно! С одной стороны, можно не заморачиваться с парадоксами множеств мощности континуума, а с другой стороны, увеличивать число элементов можно настолько, насколько это потребуется для увеличения точности модели.
А я для своих студентов перевел всё в физические представления. Вообразите себе тир, на заднюю стенку которого мы можем приклеивать самые красивые мишени. В тире реализован механизм, который выстреленные пули рассеивает совершенно равномерно, хотя и случайно. Пульки вязнут в мишенях, а сами мишени, как и задняя стенка очень велики по сравнению с пулькой.
Очень длинные и ровные стенки тира сделаны из абсолютно гладкой и упругой полированной стали, а пульки – закалённые и полированные шарики. В этом случае шарики, отражаясь от стенок многократно, будут распределяться по задней стенке случайно, но равномерно. Равномерно – значит, в одинаковые площади будет попадать одинаковое количество шариков. Тем более одинаковое, чем больше размеры равных площадей. Это называется «Закон больших чисел».
Разумеется, никаких рассуждений про стенки, шарики, равномерность, закон больших чисел, у Колмогорова нет. Мера на сигма-алгебре, и дело с концом! «Думайте сами, решайте сами, иметь или не иметь».
Обычное отношение к делу у крутых математиков. Все подробности запрятаны в постулаты. Про метод постулирования можете в инете нагуглить цитату Бертрана Рассела, великого логика, если вы достаточно любопытны для этого.
А мы, грешные лудильщики, разводим физические подробности.
Что означает элементарное событие при такой модели? Очень просто: пулька попала в стенку, в малюсенькую ячейку, соответствующую размерам пульки. Все сложные события получаются объединением элементарных или пересечением сложных. Или их отрицанием. Короче, все сложные события можно получить с помощью операций И, ИЛИ, НЕ.
Радость математиков по поводу введения такого определения была очень велика. Удалось доказать кучу интересных и очень общих теорем.
Но какая выгода моим возлюбленным юристам-заочникам,, экономистам, эмчеэсникам, которые вынуждены решать задачки по теории вероятности для целей управления рисками?
Оказывается, тоже большая. Абсолютно любую такую задачку можно изобразить в виде плоских мишеней. То есть, решать, глядя на картинку на листочке бумаги, и представлять событие как попадание пульки в мишень. Можно легко переходить к теоретико-множественным операциям. А от теоретико-множественного представления,шимбко не задумываясь, с помощью теорем переходить к вычислениям. Все становится наглядно, можно решать формально, и в полной уверенности в конечном результате.
В следующей статье я предложу подробное решение этим способом анекдотичной задачи, которую легко перевести и на серьёзный язык, если будет необходимость. Сначала рисуется картинка, потом задачка переводится на язык алгебры множеств.
А пока привожу её условие.
Задача 5. Пьяный ковбой стреляет по бутылкам в баре. Бутылок три, он делает три выстрела, в каждую по одному, и уходит. Большая бутылка стоит $100, средняя-70 , маленькая - 60 . Вероятность попадания в большую бутылку - 0.8, в среднюю -0.7 и в маленькую -0.5. С какой вероятностью утром, когда он проспится, его заставят платить более $150? Он не убежит и платить его заставят только за разбитые бутылки. Решается она довольно просто.
ЗЫ. Нашел цитату Бертрана Рассела. Метод постулирования имеет много преимуществ , совпадающих с теми, которые присущи воровству по сравнению с честным трудом.
Учтите, это сказал очень крутой авторитет в логике и основаниях математики, а также и философии. Сэр знал, о чем говорил!