Не так давно вышла новость о том, что в ЕГЭ 2022 по профильной математике появятся задание на тему комплексных чисел. Но что же это такое?
Все мы со школы знаем, что существуют различные числовые множества. А именно: натуральные, целые, рациональные и действительные. И казалось бы в последнем находятся все возможные числа, но нет.
На данный момент Комплексные числа являются одной из самой главных тем в теории чисел, считая что вещественные числа являются частным случаем. Они подразумевают под собой, что число состоит из действительной и мнимой частей. Записывается в виде:
где a - действительное число, b - мнимая часть, а i -число, дающее в квадрате минус единицу.
Часто i записывают как √-1, однако данная запись не является верной.
История возникновения
В первые извлекать квадратный корень из отрицательных чисел понадобилось в XVI веке, в связи с изучением кубических уравнений, и решением их с помощью формулы Кардана.
Если оно имеет три действительных корня, то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число.
Но достаточно долгое время комплексные числа вызывали сомнения у математиков.
И лишь благодаря великому Эйлеру, математики смогли признать, мнимые числа настоящими числами и распространить вычисление с ними на все разделы математики. Именно Эйлеру и принадлежит гениальная догадка о том, что комплексные числа являются алгебраически замкнутыми относительно всех алгебраических операций. То есть не существует таких алгебраических операций над комплексными числами, которые невозможно было бы сделать не выходя за рамки комплексных чисел.
Основные сведения
Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга.
Сложение и вычитание происходят по правилу:(a+ bi)±(c+di) = ( a±c)+(b±d)i , а умножение — по правилу ( a+bi) · ( c+di) = ( ac–bd) + ( ad+bc)i.
Важным понятием является: число ž=a-bi называется комплексно-сопряженным к числу z=a+bi. При перемножении их получается действительное число: ž*z=a²+b². Это равенство позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число.
Ко всему прочему у комплексных чисел есть удобное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами ( a ; b )
При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов. По теореме Пифагора длина вектора с координатами ( a ; b ) равна √(a² +b²). Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается | z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z .
Итог
Во многих разделах математики и ее приложениях невозможно ограничиться рассмотрением лишь действительных чисел.
Потребности этих разделов заставляют обобщить понятие о числе и ввести в рассмотрение множество комплексных чисел, множество более обширное, по сравнению с множеством действительных чисел.
С необходимостью расширения рассматриваемого множества чисел неоднократно сталкиваются в процессе изучения математики.
Ко всему прочему наиболее известными направлениями науки, где комплексные числа применяются на практике это квантовая механика и электротехника.
