Найти тему
3,5K подписчиков

Математика для чайников. Глава 5. Основы элементарной алгебры

2,1K прочитали
Изображение взято из открытых источников
Изображение взято из открытых источников

Начало: Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция.

Предыдущий урок: Математика для чайников. Глава 4. Алгебра

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе. Напомню, что в общем смысле алгебра – это множество (набор) разных математических объектов (абстракции) и правила, что с ними можно сделать. В элементарной алгебре абстракции – это буквы, которые обозначают числа (неизвестные).

Какие правила операций над абстракциями в существуют элементарной алгебре? Это, конечно же, сложение, вычитание, умножение и деление. А так же другие арифметические операции. И из них вытекает ряд правил:

1. Правило перестановки слагаемых

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-2

Звучит это правило так: «От перестановки слагаемых сумма не меняется».

2. Правило перестановки множителей

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-3

Кстати, н6е во всех алгебрах эта правило есть. Например, в линейной алгебре, в случае матричного умножения это не работает – там важено, в каком порядке матрицы перемножаются.

3. Правило раскрытия скобок

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-4

Собственно, существует и обратное правило – однородные члены можно объединить. Пример:

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-5

Замечу, что эти правила называются тождествами. Тождество – это равенство, которое выполняется на всем множестве входящих в него переменных. То есть, каким бы числа мы не подставляли в наши уравнения, права и левая часть всегда будет равна.

4. Подстановка

Если у нас какая-то буква равна числу или определенному выражению, то мы можем выполнить подстановку, например:

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-6

Вот еще несколько простых алгебраических тождеств:

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-7
На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-8

где

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-9

А теперь более сложные тожества:

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-10

Докажем их.

Первое тождество, тут достаточно раскрыть скобки:

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-11

Со вторым, собственно, аналогично:

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-12

Используя данные формулы, мы, например, можем упросить выражение

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-13

Просто разложим числитель и знаменатель на множители:

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-14

Теперь решим задачку, которая может быть на ЕГЭ.

Найдите корень уравнения:

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-15

Если вы знаете, что такое логарифмы, то легко решите эту задачу:

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-16

Откуда следует, что

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-17

Но даже если вы не знакомы с логарифмами, то нетрудно догадаться, что

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-18

Теперь находим x

На прошлом уроке я писал, что существует несколько видов алгебр. Самая простая из них – это элементарная алгебра, которую проходят в школе.-19

Следующий урок: Математика для чайников. Глава 6. Метод математической индукции

6