11

Аксиомы

• Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
• Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.
• Если две прямые параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
• Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
• Любые три прямые имеют не более одной общей точки.
• Через любую точку проходит более одной прямой.
• Через любую точку проходит не менее одной прямой.
• Через любые две точки можно провести прямую.
• Через любые три точки проходит не более одной прямой.
• Через любые три точки проходит не более одной прямой.

Углы

• Вертикальные углы равны.
• Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.
• Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой внешние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внешних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.

Треугольники

• Сумма углов любого треугольника равна 180° .
• Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон данного треугольника. (неравенство треугольника)
• Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
• Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. (1 признак равенства треугольников)
• Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (2 признак равенства треугольников)
• Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (3 признак равенства треугольников)
• Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (1 признак подобия треугольников)
• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (2 признак подобия треугольников)
• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (3 признак подобия треугольников)
• Напротив равных углов лежат равные стороны.
• Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
• Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
• Площадь треугольника равна полупроизведению двух сторон треугольника на синус угла между ними.
• Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой (то есть делит основание на две равные части) и высотой (перпендикулярна основанию).
• Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
• В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы.
• Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
• Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. (теорема косинусов).
• Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.
• Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. (теорема синусов)
• Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
• Один из углов треугольника всегда не превышает 60°.
• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.
• Биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.

Четырехугольники

• Сумма углов четырехугольника равна 360°.
• Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.
• Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
• В параллелограмме противолежащие углы равны.
• В параллелограмме противолежащие стороны равны.
• В параллелограмме сумма смежных углов равна 180°.
• Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов, из которых они выходят, этот параллелограмм является ромбом.
• Если в параллелограмме диагонали равны, этот параллелограмм является прямоугольником.
• Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, этот прямоугольник является квадратом.
• Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
• Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
• Диагонали ромба перпендикулярны.
• Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
• Диагонали квадрата делят его углы пополам.
• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
• Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.
• Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
• Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
• Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
• Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
• Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.
• Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.
• Трапеция – четырехугольник две стороны которого параллельны, а две другие нет.
• У равнобедренной трапеции диагонали равны.
• У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
• Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
• Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

Окружности

• В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.
• Все диаметры окружности равны между собой.
• Все радиусы окружности равны между собой.
• Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
• Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
• В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
• Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис.
• Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.
• Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.
• Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
• Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.
• Центр описанной окружности может находиться внутри треугольника (если он остроугольный), на стороне (если он прямоугольный) и вне треугольника (если он тупоугольный).
• В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
• Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
• Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
• Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
• Если расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, то окружности касаются в одной точке.
• Если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то окружности не имеют общих точек.
• Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
• Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
• Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
• Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.
• Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
• Через любые три точки проходит не более одной окружности.
• Если четырехугольник вписан в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
• Если в четырехугольник вписана окружность, суммы длин его противолежащих сторон равны.

Симметрия

• Правильный n-угольник имеет n осей симметрии.
• Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.
• Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.
• Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.
• Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

Неверные утверждения

• Существует квадрат, который не является прямоугольником. 
• (Любой квадрат является частным случаем прямоугольника, потому что прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы по 90°).
• В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 
• (В любом прямоугольнике диагонали равны. Если они при этом еще и перпендикулярны, то этот прямоугольник – квадрат).
• Существует квадрат, который не является ромбом. 
• (Любой квадрат – частный случай ромба, ромб – четырехугольник, у которого все стороны равны. У квадрата все стороны равны).
• Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. 
• (Если угол острый, то смежный с ним угол будет тупым).
• Через любые три точки проходит ровно одна прямая. 
• (Не всегда можно провести через три точки одну прямую, они могут «не попасть» на эту прямую).
• Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1 
• (Расстояние от точки до прямой – минимальная длина отрезка, который соединяет заданную точку с произвольной точкой на прямой. Если расстояние меньше единицы, то любой другой отрезок, соединяющий зааднную точку с произвольной точкой на прямой будет больше или равен единицы).
• Любые две прямые имеют не менее одной общей точки. 
• (Только параллельные прямые не имеют общих точек. Две пересекающиеся прямые имеют одну общую точку).
• Любые три прямые имеют не менее одной общей точки. 
• (Эти три прямые могут быть параллельны друг другу и не иметь общих точек вообще).
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны. 
• (Если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны. Сумма этих углов не поможет определить, являеются ли прямые параллельными или нет).
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны. 
• (Вписанные углы должны опираться на одну и ту же дугу, чтобы они были равны. Хорда стягивает две дуги. При такой формулировке один из углов может опираться на хорду с одной стороны (опираться на меньшую дугу), а второй угол – с другой стороны (опираться на большую дугу). Тогда равенство этих углов не будет выполняться).
• Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек. 
• (Из рисунка видно, что это не так).
• Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются. 
• (Из рисунка видно, что это не так).
• Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°. 
• (Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°).
• Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°. 
• (Противолежащие углы в параллелограмме равны. Так что противолежащий угол должен быть равен тоже 60°).
• Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. 
• (Признак параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник параллелограмм).
• Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°. 
• (Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°).
• Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. 
• (Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис).
• Около любого ромба можно описать окружность. 
• (Только если этот ромб – квадрат).
• Окружность имеет бесконечно много центров симметрии. 
• (Окружность имеет лишь один центр симметрии – центр окружности).
• Прямая не имеет осей симметрии. 
• (Прямая имеет бесконечное множество осей симметрии – любая перпендикулярная ей прямая будет являться осью её симметрии).
• Квадрат не имеет центра симметрии. 
• (Центр симметрии квадрата – точка пересечения его диагоналей).
• Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии. 
• (Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии – высоту, проведенную к основанию).
• Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей. 
• (У равнобедренной трапеции нет центра симметрии).
• Любые два равнобедренных треугольника подобны. 
• (У подобных треугольников должны быть равны углы. Если взять два произвольных равнобедренных треугольника, то три угла одного из них не обязательно будут соответственно равны трем углам другого).
• Любые два прямоугольных треугольника подобны. 
• (У подобных треугольников должны быть равны углы. Если взять два произвольных прямоугольных треугольника, то не обязательно два острых угла одного треугольника будут соответственно равны двум острым углам другого).
• Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным. 
• (Данный треугольник прямоугольный, так как в нем работает теорема Пифагора: 
• 9 + 16 = 25).
• Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов. 
• (Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.)
• Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. 
• (Если бы в формулировке вместо синуса стоял косинус, было бы верным данное утверждение).
• Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры. 
• (Не обязательно. Для примера возьмем квадрат со стороной 2 и прямоугольный треугольник со сторонами 1 и 4. Тогда площади этих фигур будут равны, но сами фигуры, разумеется, равными друг другу не будут. Еще пример: возьмем прямоугольник со сторонами 2 и 6 и другой прямоугольник со сторонами 1 и 12. Их площади тоже будут равны, но сами фигуры равными друг другу не будут).
• Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту. 
• (Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту).
• Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10. 
• (Площадь должна равняться 5).
• Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности. 
• (Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности).
• Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. 
• (Не выполняется неравенство треугольника: одна из сторон должна быть меньше, чем сумма двух других. 4 > 1+2 – неверно).
• Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. 
• (Если треугольник тупоугольный, то центр описанной вокруг него окружности лежит за его пределами).
• Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований. 
• (Площадь трапеции равно половине высоты, умноженной на сумму оснований).
• В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность. 
• (Вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность).
• Диагональ параллелограмма делит его углы пополам. 
• (Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм является ромбом).
• Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. 
• (Только биссектриса, проведенная к основанию. Биссектриса, проведенная к боковой стороне не будет являться медианой).
• У любой трапеции боковые стороны равны. 
• (Только у равнобокой трапеции боковые стороны равны).
• Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. 
• (Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Для трапеции такое утверждение неверно).
• Смежные углы равны. 
• (Сумма смежных углов равна 180°. Если смежные углы равны, то каждый из них равен 90°, но это частный случай).
• Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 
• (Параллельные прямые не имеют общих точек).
• Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°. 
• (Смежных с ним угол должен быть равен 180°-47°=133°).
• Через любую точку проходит ровно одна прямая. 
• (Через любую точку можно провести бесконечное множество прямых).
• Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°. 
• (Сумма смежных углов равна 180°. Если один из смежных углов равен 120°, то второй должен быть равен 60°).
• При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°. 
• (Накрест лежащие углы должны быть равны).
• Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис. 
• (Центром окружности, описанной около треугольника является точка пересечения его серединных перпендикуляров).
• Диагонали параллелограмма равны. 
• (Диагонали прямоугольника и квадрата равны, а у параллелограмма они разной длины).
• Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. 
• (Угол должен находиться между этими сторонами, в данной формулировке об этом ни слова).
• В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 
• (В тупоугольном треугольнике один из углов тупой. Все углы не могут быть тупыми, так как их сумма станет больше 180°).
• Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 
• (Первый признак равенства треугольников: Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны стороне и угла между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).
• Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей. 
• (Равноудалена – находится на одном и расстоянии от обоих центров. Если окружности будут разного радиуса, то точка пересечения окружностей будет ближе к центру окружности меньшего радиуса).
• Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов. 
• (Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов).
• Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. 
• (Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам).
• Все радиусы равны между собой. 
• (Все радиусы в одной окружности равны между собой. А радиусы в разных окружностях между собой не равны).
• Все диаметры равны между собой. 
• (Диаметры в одной окружности равные между собой. А диаметры в разных окружностях между собой не равны).
• Сумма углов любого треугольника равна 360°. 
• (Сумма углов в треугольнике равна 180°).
• Сумма вертикальных углов равна 180°. 
• (Вертикальные углы равны. Сумма смежных углов равна 180°).
• Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны. 
• (Важно, чтобы были равны углы. Простой пример: квадрат со стороной 1 не равен ромбу со стороной 1, хотя стороны этих четырехугольников равны).
• Все углы ромба равны. 
• (Противолежащие углы ромба равны).
• Все углы параллелограмма равны. 
• (Противолежащие углы параллелограмма равны).
• Все хорды одной окружности равны между собой. 
• (Все диаметры одной окружности равны между собой. Хорда же соединяет две точки окружности).
• Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой. 
• (Возможен случай, когда оба смежных угла равны 90°).