Проблема устойчивости в современной науке занимает одно из центральных мест. Это касается задач геологии, материаловедения и других научных дисциплин. Наибольшую остроту проблема устойчивости приобретает в экологии с точки зрения выживаемости Человека как Вида.
Существует множество подходов к решению проблемы устойчивости динамических систем, среди которых своей общностью выделяется метод, разработанный нашим соотечественником А.М. Ляпуновым. В теореме Ляпунова утверждается, что необходимым условием устойчивости всякой динамической системы является наличие отрицательных решений, описывающих ее уравнений .
В образной форме теорему Ляпунова можно представить следующим образом: тормоза нужны автомобилю, чтобы он мог быстро ездить. Действительно, для автомобиля, который ездит медленно, необходимость тормозной системы не очевидна, в то время как езда с большими скоростями без тормозов чревата катастрофическими последствиями.
Из теоремы Ляпунова следует, что, вообще, любые динамические системы без «отрицательных решений» идут в разнос .
Здесь ярким образным примером, иллюстрирующим практическую значимость теоремы Ляпунова, служит балласт на океанских судах, без которого невозможно обеспечить устойчивость плавания.
Далее, теорему Ляпунова можно применить к анализу устойчивости объектов с точки зрения их форм, так как криволинейная поверхность тела является динамической по своей природе .
Действительно, всякая кривизна есть результат некоторого движения (см., например, формулы Френе-Серре [1]), что непосредственно следует из определения кривизны. Кривизна тождественна угловой скорости, а угловая скорость не может существовать без движения . Поэтому устойчивость тела, ограниченного криволинейной поверхностью, может быть оценена числом отрицательных решений для описывающей ее системы уравнений .
Например, сфера , ограничивающая шар, имеет три отрицательных решения.
На рисунке отрицательными решениями уравнения сферы являются точки пересечения сферы с отрицательными координатными полуосями. Таким образом, сфера по Ляпунову является достаточно устойчивой поверхностью.
Вообще существует очень небольшое число фундаментальных поверхностей - сфера, эллипсоид, полярный и экваториальный торы и, так называемая, седловая поверхность. К разновидностям последней относятся: однополосной гиперболоид, параболоид и собственно седловая поверхность. С помощью теоремы Ляпунова можно классифицировать устойчивость «тел», ограниченных этими поверхностями.
У эллипсоида , также как у шара, имеется три отрицательных решения и по устойчивости они эквивалентны.
Двуполостной гиперболоид представляет собой два связанных «тела»
и имеет всего одно отрицательное решение.
Однополостной гиперболоид , образован поверхностями, получающимися в результате скручивания цилиндра. Он имеет всего два отрицательных решения, следовательно, менее устойчив, чем шар и эллипсоид.
Параболоид вообще не имеет отрицательных решений и лишь при наложении дополнительных условий по сдвигу относительно начала координат он приобретает некоторую устойчивость. В первом случае мы имеем дело с неустойчивым объектом, а во втором, полученном дополнительными усилиями (условиями), - три отрицательных решения, - с устойчивым, эквивалентно шару, «телом».
Собственно седловая поверхность имеет одно отрицательное решение и по устойчивости эквивалентна двуполостному гиперболоиду.
Однако, рекордсменами устойчивости являются тела, ограниченные торовыми поверхностями. Например, экваториальный тор имеет четыре отрицательных решения,
а полярный – целых пять.
Именно этой поверхностью ограничены все наиболее устойчивые разноплановые природные объекты от элементарных частиц до планет и звезд. Форму полярного тора, например, имеют практически все растительные плоды, которые предназначены Природой для длительного (устойчивого) сохранения . Наиболее показательными в этом отношении являются яблоки, арбузы, тыквы.
Вот так, совершенно неожиданно, теорема Ляпунова оказывается применимой к обыденным вещам, которые нас окружают.
Литература:
1. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. «Наука», М. 1970. С. 460-466.
