Формулировка условия такова: есть треугольник ABC, из вершин B и C проведены внешние биссектрисы. K-проекция вершины A на внешнюю биссектрису угла B, а L-на внешнюю биссектрису угла C. Надо доказать что длина KL равна полупериметру треугольника ABC.
Решение: отметим точки M и N- середины отрезков AB и AC соответственно. Отметим на прямой BC точки X и Y, такие что B лежит между X и C, а C лежит между B и Y. Заметим что углы KBA и KBX равны т.к. BK это биссектриса, также углы KBA и BKM равны т.к. AKB-прямоугольный треугольник с прямым углом K и KM-медиана из прямого угла. Значит угол KBX равен углу BXM, а из этого следует что KM параллельно BC. Аналогично получаем что LN параллельно BC. Также т.к. MN-средняя линия, то MN параллельно BC. Из этого следует что KL параллельно BC, а также что длина KL равна сумме длин KM, MN и LN. Т.к. KM медиана в прямоугольном треугольнике AKB, то длина KM равна половине длины AB, аналогично длина LN равна половине длины AC. Также длина MN равна половине длины BC, т.к. MN-средняя линия. Значит длина KL, равная сумме длин KM, MN и LN, равна половине суммы длин AB, BC и AC, что равно полупериметру. Утверждение доказано.