Фигурные числа

Фигурные числа - общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.

Предполагают, что впервые они появились в VI веке до нашей эры – в школе Пифагора. В дальнейшем многие математики интересовались этими числами.

Согласно пифагорейскому учению, в основе мира лежат числа (натуральные).

Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть".

Арифметика пифагорейцев была поэтому тесно связана с геометрией: они выделяли классы чисел, имеющих одну и ту же форму, а именно: треугольные, квадратные, пятиугольные и так далее.

Линейные числа

Линейные числа (т.е. простые числа) - числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию:

1,2,3,5,7,11,13,17,19,23

линейное число 5

Плоские числа

Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей:

4,6,8,9,10,12,14,15

плоское число 6

Телесные числа

Телесные числа — числа, выражаемые произведением трёх сомножителей

(8,12,18,20,24,27,28,...) и т. д.

телесное число 8

Треугольные числа

Треугольные числа — это такие числа, из которых (имея столько камушков) можно выложить правильные треугольники.

1, 1+2= 3 , 1+2+3= 6 , 1+2+3+4= 10 ,

1+2+3+4+5= 15 , 1 +2+3+4+5+6= 21

Квадратные числа

квадратные числа получаются при выкладывании из камушков квадратов. Вот они какие: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и т. д.

Второй- это два ряда, каждый из двух камушков: 2*2=4. Третий - три ряда по три камушка: 3*3=9. Четвертый- 4 ряда по 4 камня: 4*4=16. Неспроста про числа 2*2, 3*3, 4*4 говорят " два в квадрате", "три в квадрате", "четыре в квадрате"!

Пятиугольные числа

Можно рассматривать и шестиугольные, и семиугольные числа, и вообще, числа, возникающие при складывании разнообразных многоугольников, с разными сторонами или с одинаковыми.

Кубические числа

Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2*2*2=8 (два этажа из квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3) 4*4*4=64 (четыре этажа из квадратов 4*4) 5*5*5=125, 6*6*6=216, 7*7*7=343, 8*8*8=512, 9*9*9=729, 10*10*10= 1000 и так далее. Теперь понятно, почему про такие числа говорят: "два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе "?

Пирамидальные числа

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций. Так, представляя число 10 в двух формах: 5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a.

Если "камешки", образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab : автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S= ab .

 Квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел

Счет на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это- развитие счета на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучений чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами.

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма , Эйлер, Гаусс и другие. Ферма сформулировал ( 1670 ) так называемую «золотую теорему»:

Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;

Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел;

Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел:

и т. д.

Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году .

Почему числа 2*2*2*2=16, 3*3*3*3=81, 4*4*4*4=256 и т.д. не имеют своего названия, хотя у квадратов и кубов чисел такие названия есть? А дело в том, что мы живем в мире трех измерений (длина, широта и высота). Квадрат получился, когда мы выложили фигуру с одинаковой длиной и шириной: куб - фигура с одинаковыми длиной, шириной и высотой. Но нет четвертого измерения, чтобы выложить такую же красивую фигуру из 2*2*2*2 камушков.

Квадратное число находится по формуле:

N кв.=п х п

Треугольное число находится по формуле:

N тр.=п(п-1):2

Пятиугольные числа находятся по формуле:

N пят.=п+3п(п-1):2

Использовано:

https://ru.wikipedia.org/wiki/ Фигурные_числа

http://totangens.ru/figurnye-chisla.html