Задача.
Пункт a)
Рисуем картинку.
Далее делаем вот такой трюк, строим CK параллельно диагонали BD до пересечения прямой AD.
Теперь думаем, что же такое BCKD? Мы знаем, CK || BD(т.к. мы так построили). По условию нам дана трапеция, из этого следует что BC || AD.
Мы продлили AD до пересечения с CK, но поскольку AD || BC,
=> AK || BC, => DK || BC.
=> BCKD - параллелограмм, т.к. у него противоположные стороны параллельны, а => они равны.
BC = DK, BD = CK = 12.
А теперь вспоминаем, что сумма оснований равна 13, т.е.
BC + AD = 13, но поскольку BC=DK, получаем:
DK + AD = 13, DK+AD = AK, <=>
AK = 13
Нас просят доказать, что диагонали перпендикулярны, т.е. угол между AC и BD должен быть равен 90 градусов, значит это как-то связано с этими углами(они равны т.к. BD || CK )
Как доказать что красный уголочек равен 90 градусов? Рассмотрим треугольник ACK, в нём нам известны все стороны
Чтобы найти угол, мы можем вычислить его косинус по теореме Косинусов, но зачем нам усложнять себе жизнь? Давайте заметим что
сумма квадратов AC и CK равна AK в квадрате
А это значит, что треугольник ACK прямоугольный, потому-что в нём работает теорема Пифагора. Значит этот уголок равен 90 градусов, т.к. он лежит напротив гипотенузы.
И он равен этому углу.
Всё, пункт a) решён.
Теперь добиваем "супер сложный" б)
Пункт б)
Используя имеющиеся данные, нам нужно вычислить высоту трапеции.Как это можно сделать? Помним про треугольник ACK - он особенный, сейчас поймем почему.
Пусть - h - высота, которую надо найти
Площадь трапеции ABCD равна:
А площадь треугольника ACK(у него такая же высота, как у трапеции)
И видим:
Поэтому забываем про трапецию ABCD, и рассматриваем опять треугольник ACK.
Нужно найти высоту, опущенную на AK.
Для этого вспомним формулы для площадей треугольника.
С одной стороны площадь ACK равна:
С другой:
Приравняем равенства:
И выражаем отсюда высоту:
Вот и вся задача. Если нашли другое решение - пишите в комментариях, будет интересно посмотреть.