В 2020 в нескольких вариантах на ЕГЭ по профильной математике попалось вот такое "страшное" неравенство:
Почему же "страшное"? Потому что большинство учеников ожидали увидеть метод рационализации или дробно-рациональное неравенство, ведь их уже "натаскали" на них в школе. Поэтому такое смешанное неравенство вызвало ступор и многие потеряли на нем баллы.
Попробуйте решить его сами, а затем смотрите разбор.
Итак, разбор:
Как обычно, начинаем с ОДЗ, но будьте аккуратны, иногда опасно писать это слово, потому что если вы не учтете какое-то ограничение, то вам сразу поставят ноль баллов. Поэтому, будем аккуратны и просто на полях обозначим ограничения, накладываемые на икс. Слово ОДЗ просто держим в голове.
Перед написанием ОДЗ, заметим, что логарифмируемое выражение справа можно преобразовать.
Известная с 7 класса формула квадрата разности.
И теперь вернемся к написанию ОДЗ, итак:
Логарифмируемое выражение всегда больше нуля, запишем:
С "ОДЗ" разобрались, приступаем к решению.
Вспоминаем свойства логарифмов:
243 это 3 в степени 5, , пользуемся последним свойством и переносим 5 в знаменатель дроби перед логарифмом. Смотрим на правую часть неравенства. У нас есть логарифмируемое выражение в квадрате, переносим двойку вперед, по свойствам логарифмов.
Итого у нас получается:
Одинаковое основание, одинаковое выражение. Чудесно!
Нетрудно заметить, что логарифм справа можно перенести в левую часть и вынести его за скобки. Далее приведено полное рещение.
Вот и все, неравенство решено, конец получился коротким, поэтому ниже ответы на ваши возможные вопросы:
1. Как выбираем знаки? Легко: выбираем любое число слева (на интервале от -4 до и корень из 10), -4 не подходит, не входит в ОДЗ, при -3 получается ноль, поэтому берем -2. Подставляя в выражение получаем:
На выбранном интервале получился минус, далее знаки чередуются: минус, плюс, минус, плюс... Логарифм можно посчитать и без калькулятора, правило простое: если логарифмируемое выражение меньше единицы - логарифм отрицательный, больше - положительный.
2. Откуда взялись иксы? Иксы -корни уравнений, который получатся если каждый из множителей приравнять к нулю.