Вступление
Теорема Виета - это, пожалуй, самый мощный инструмент, который позволяет решать квадратные быстро и без сложных вычислений. С её помощью можно решать не только приведенные уравнения( коэф. a = 1), но и непредвиденные ( где а не равен 1), как на рисунке ниже
Сегодня мы научимся её правильно применять, чтобы она экономила нам время.
Теорема Виета.
Я не буду её доказывать, главное поймем одну простую вещь. Допустим, у нас есть обычное квадратное уравнение (приведенное),
Теорема Виета гласит, что сумма корней равна -b,
Коэффициент b стоит перед иксом, т.е. вот этот
Т.е. b = -5. Следовательно, -b будет равен 5.(поменяли знак)
Значит сумма корней уравнения равна 5.
Теперь следующее условие теоремы Виета. Произведение корней равно свободному от икса коэффициенту.
Коэффициент c это вот это число:
Т.е. произведение корней равно 6.
Теперь смотрим вот на эту систему:
Здесь мы должны угадать иксы, которые задают решения системы.
Чтобы это сделать, начать подбирать иксы нужно не с суммы корней, а с произведения.
Смотрим сюда и думаем, какие же иксы при умножении друг на друга дают 6, и в сумме получается 5? Естественно это 2 и 3.
Как видим, система имеет решения при таких иксах, значит мы всё правильно угадали. x = 2, x = 3.
А теперь давайте немного изменим это уравнение.
Коэффициент b = 5 , значит -b = -5.
c = -6.
Значит запишем условия
Начинаем с произведения, какие два числа при умножении друг на друга дают -6? Для наглядности, рассмотрим все возможные варианты/
1) 2 и -3.
Как видим 2 * (-3) действительно равно -6, но в сумме они не дают -5, значит такие иксы нам не подходят.
2) - 2 и 3
Эти иксы опять дают в произведении -6, но в сумме -5 ни как не получается!
Проверяем 3 вариант.
3) -1 и 6.
-1 умножить на 6 = -6, но вот в сумме опять не получается.
Значит проверяем последний вариант.
4) 1 и - 6.
Как видим такие иксы нам подошли, произведение равно -6, сумма равна -5. Значит x=-6, x = 1.
Решим ещё одно приведенное уравнение.
Сумма корней равна 4, произведение равно 3.
Смотрим на произведение, 3 = 3 * 1 :
Чтобы сумма корней получась 4, нужно чтобы корни были 1 и 3.
Эти числа удовлетворяют теореме Виета, значит мы угадали корни.
x = 1, x = 3.
Ну и теперь перейдем к уравнению, где коэффициент а не равен 1.
Здесь мы делаем всё тоже самое, но с небольшим изменением.
сумма (НЕ КОРНЕЙ) равна -13, но вот произведение(НЕ КОРНЕЙ) будет равно 3 * -10
Т.е. когда уравнение не приведенное мы умножаем коэффициент a на свободный член с.
Ну и смотрим.
Сумма -13, произведение равно -30
Представим -30 как -15 * 2
-15 + 2 = -13
-15 * 2 = -30
Эти числа подходят, и теперь не забываем про САМОЕ ГЛАВНОЕ, эти числа нужно разделить на коэффициент a.
Вот и всё.
Заключение
Надеюсь материал был полезным. Самое главное - научитесь подбирать числа так, чтобы они удовлетворяли теореме Виета и условию в не приведенном кв. уравнении(там не забывайте делить на коэффициент a).
Спасибо за просмотр, подписывайтесь и ставьте лайки :)