В прошлых статьях мы поговорили про метод интервалов, а также про равносильные преобразования (схемы). Эти два метода являются ключевыми при решении подавляющего большинства задач с модулями.
Однако помимо разобранных ранее методов есть и другие. Они также основаны на свойствах модулей, но на стандартных экзаменах встречаются реже. Обычно их можно встретить на конкурсных олимпиадах и экзаменах уровня выше среднего.
Давайте разберём дополнительные свойства модулей и соответствующие им методы решения задач. Все эти соотношения в целом не очень сложные, однако часто являются критическими для эффективного решения задач.
Свойство 1
Это очевидное равенство легко проверить, подставив в него положительное, отрицательное число и ноль. Именно оно даёт нам возможность делать замену переменной для модулей.
Рассмотрим уравнение:
Его можно решать методом интервалов, аккуратно раскрывая модуль на разных промежутках, но всё же эффективнее будет сделать замену, применив указанное выше свойство.
И дальше получаем в ответе четыре различных корня.
Свойство 2
Символ “∨” посередине означает любой из знаков неравенства: <, >, ≤, ≥
Иначе это свойство можно переформулировать так: знак выражения |a|-|b| совпадает со знаком выражения (a-b)(a+b)
Доказывается это утверждение следующим образом. Для определенности будем рассматривать привычный знак неравенства “>”. Для остальных знаков рассуждения будут полностью аналогичными.
То есть нам нужно доказать утверждение:
Рассмотрим левое неравенство. Сначала перенесём -|b| вправо со сменой знака.
Далее возведём обе части получившего неравенства в квадрат. Мы имеем право это сделать, так как каждая часть неравенства неотрицательна. То есть в итоге получается равносильное преобразование.
Квадрат числа равен квадрату модуля числа (то есть |x|²=x², см. выше).
Переносим b² влево со сменой знака.
Раскладываем разность квадратов на множители.
Мы доказали исходное неравенство.
Теперь коротко о том, как применять этот факт.
Он нам нужен для решения неравенств методом замены множителей. То есть если мы решаем неравенство, в котором есть разность модулей и эта разность умножается или делится на что-то и в результате получается неравенство относительно нуля, то эту разность модулей мы можем заменить.
На словах это трудно понять, давайте разберём пример. Он может показаться громоздким, но в целом он довольно простой.
Нам интересен знак выражения в первой скобке в числителе и знак выражения в знаменателе. В обоих случаях мы видим разность модулей. Заменяем их по следующим правилам:
И далее раскрываем внутренние скобки, приводим подобные слагаемые и решаем по стандартному методу интервалов.
У этого метода есть ещё различные особенности применения. При них лучше посмотреть в нашем отдельном видео с разбором задач.
Свойство 3
Если в задаче с модулями у вас какие-то очень громоздкие подмодульные выражения, имеет смысл разглядеть в них одну интересную закономерность и воспользоваться вот таким свойством:
Чтобы понять эту равносильность, давайте сначала отдельно рассмотрим равенство |a|+|b|=|a+b|.
Что можно сказать про числа a и b, когда они связаны таким соотношением?
Во-первых, если хотя бы оно из них равно 0, то равенство верное.
Во-вторых, если они оба положительные, то модули можно просто убрать и получится верное равенство.
В-третьих, если они оба отрицательные, то это равенство тоже верное (подумайте почему!)
То есть про a и b можно сказать, что или они одного знака, или одно из них равно 0. А это можно записать в виде ёмкого соотношения ab≥0 (проверьте, что это так!)
Аналогично доказывается утверждение:
То есть если |a|+|b|=|a-b|, то или одно из чисел равно нулю, или знаки этих чисел противоположны. То есть это те же самые числа, которые удовлетворяют неравенству ab≥0.
Теперь посмотрим, как наши отвлечённые рассуждения позволяют решать некоторые задачи.
Решим уравнение из прошлой статьи:
Оно кажется страшным. Однако в нём можно обнаружить интересную закономерность:
То есть если мы заменим первое подмодульное выражение на а, а второе на b, то мы получим уже знакомое нам соотношение:
А это равенство можно заменить на удобное неравенство:
Возвращаясь к переменной х при обратной замене, получаем, что исходное уравнение равносильно следующему неравенству:
И дальше раскладываем на множители и решаем методом интервалов.
На самом деле таких равенств с подобными свойствами чуть больше. Мы рассмотрели только пару самых популярных из них. Вы же можете самостоятельно исследовать и найти удобные соотношения для следующих выражений: |a|+|b|>|a-b|, |a|-|b|≤|a-b|, |a|+|b|≥|a+b| и |a|+|b|+|с| = |a+b+с|
А ключ для всех подобных задач один и тот же: рассмотреть сумму или разность двух подмодульных выражений и сравнить её с третьим подмодульным выражением.
Свойство 4
Следующее соотношение использует неотрицательность модуля:
Понятно, что сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, тогда и только тогда когда они оба равны 0.
Решать задачи с применением этого свойства тоже понятно как. Рассмотрим уравнение.
Чтобы выполнялось это равенство, каждое подмодульное выражение должно быть равно 0. Первое подмодульное выражение обращается в ноль при -4 и 4, второе — при 1 и 4. В итоге подходит только корень равный 4.
Свойство 5
Наконец, ещё одно простое свойство:
Чтобы убедиться в его правильности достаточно рассмотреть все знаки для чисел а и b.
Теперь посмотрим, где его можно применить. Рассмотрим задачу с вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 2008 году.
Видим здесь нагромождение модулей. Раскрывать их через метод интервалов или действовать через равносильные преобразования довольно трудозатратно.
Поступим иначе.
Для начала воспользуемся очевидным свойством для модуля |x|=|-x|, точнее его следствием |a-b|=|b-a|. По правилам хорошего тона квадратные трёхчлены желательно начинать с x² и делать коэффициент при нём положительным:
Теперь разглядим кое-что интересное. В каждом подмодульном выражении есть множитель (х-1):
Используем наше свойство дважды:
Ну а дальше решаем уже по алгоритму: переносим всё влево, выносим общий множитель и применяем метод замены множителей.