#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
ВСЁ о КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ и НЕРАВЕНСТВАХ
ЧАСТЬ I. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА на МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ
Здравствуйте, уважаемые читатели! Перед вами первая статья цикла «ВСЁ о КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ и НЕРАВЕНСТВАХ», задуманного для учеников старших классов, начиная с 9-го, готовящихся к ОГЭ или ЕГЭ. Как обычно, начну с определений.
Квадратное уравнение — это уравнение вида
где a, b и с — действительные числа, называемые коэффициентами квадратного уравнения, а ≠ 0 (иначе уравнение не будет квадратным) — первый или старший коэффициент; b — второй коэффициент; с — свободный член, и х — неизвестная величина, значение которой надо найти, чтобы после подстановки его в уравнение оно превращалась бы в верное равенство.
Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, у которого а = 1, имеет вид
но обычно его записывают в виде
где р — второй коэффициент и q — свободный член.
Квадратный трёхчлен — это выражение, стоящее в левой части квадратного уравнения и имеющее вид
Знакомство с квадратным трёхчленом начинается уже в 7-ом классе в теме РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ на МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ. Казалось бы, какое отношение имеет квадратный трёхчлен к способу группировки, ведь здесь и группировать то нечего? Хорошо освоившие метод группировки, учащиеся догадаются, что трёхчлен следует превратить в четырёхчлен, но так, чтобы в каждой паре одночленов обязательно был одночлен с буквенным множителем х.
Для этого одночлен со вторым коэффициентом следует представить в виде суммы таких двух одночленов, чтобы произведение их числовых коэффициентов было равно свободному члену. Покажем, как это сделать на конкретных примерах, взятых из различных учебников для 7-го класса.
Пример 1. Разложить на множители многочлен
РЕШЕНИЕ. Представим одночлен 6х в виде суммы одночленов 2х + 4х:
ПРИМЕР 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен
РЕШЕНИЕ.
ПРИМЕР 3. Представить квадратный трёхчлен в виде произведения.
РЕШЕНИЕ.
ПРИМЕР 4. Представить в виде произведения многочлен
РЕШЕНИЕ.
Мы рассмотрели разложение на множители квадратного трёхчлена с а=1. Обобщим полученные решения: можно заметить, что после представления одночлена со вторым коэффициентом в виде суммы одночленов число знаков «плюс» и/или число знаков «минус» чётно — это может служить подсказкой для представления второго коэффициента в виде нужной суммы. Аналогично раскладываются на множители квадратные трёхчлены, у которых первый коэффициент принимает другие значения.
ПРИМЕР 5. Разложить на множители многочлен
РЕШЕНИЕ.
ПРИМЕР 6*. Разложить на множители квадратный трёхчлен
РЕШЕНИЕ. Заметим, что каждый одночлен трёхчлена делится на 3, поэтому
Разложение на множители записанного в скобках квадратного трёхчлена рассмотрено в решении примера № 2.
Отмечу, что не каждый квадратный трёхчлен можно разложить на множители, а о причине этого мы узнаем в одной из следующих статей.
В заключение статьи представлю достаточно широкую подборку квадратных трёхчленов для желающих отработать навыки подобного разложения квадратного трёхчлена на множители, которые в достаточно большом числе случаев помогут сократить время решения квадратных уравнений или неравенств и упрощение выражений с алгебраическими дробями, содержащих квадратные трёхчлены, особенно в заданиях с кратким ответом.
РАЗЛОЖИТЕ на МНОЖИТЕЛИ (№№ 1-54):
Не забудьте подписаться на канал Хакнем Школа и хэштег #хакнем_математика
Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Читайте наш канал в телеграм - по этой ссылке
Другие статьи автора:
Если у вас есть познавательный материал, тёплые воспоминания и интересные истории из школьной жизни, которые вы хотели бы опубликовать в нашем канале, или вы просто хотите стать автором канала, напишите нам об этом 👉 story@haknem.com
