Сейчас я расскажу, как решать квадратные уравнения простейшего вида.
Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член, и где a, b, c- заданные числа, а ≠ 0, х- неизвестное.
Нужно вспомнить:
- Понятия уравнения и его корня
- свойства уравнения
- понятие квадратного корня из числа
Объясню всё на примере задачи. Основание прямоугольника больше высоты на 10 см, а его площадь равна 24 см2. Найти высоту прямоугольника.
Пусть х см- высота прямоугольника, тогда его основание равно (х + 10) см. S= x(x + 10) см2. По условию задачи x(x + 10) = 24.
Для того чтобы решить данное уравнение необходимо раскрыть скобки и перенести 24 с противоположным знаком в левую часть уравнения.
х2 + 10х - 24= 0
Далее, разложим левую часть уравнения на множители способом группировки*: х2 + 10х - 24= х2 + 12х - 2х -24= х(х + 12) -2(х + 12) =
= (х + 12)(х - 2)
Итак, уравнение можно записать: (х + 12)(х-2)= 0
Это уравнение имеет корни х1 = -12, х2 = 2.
Ответ: высота равна 2 см.
Есть три вида квадратных уравнений:
- не имеют корней;
- имеют один корень;
- имеют два различных корня.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b2 − 4ac.
А вот свойства дискриминанта:
- если D < 0, корней нет;
- если D = 0, есть один корень;
- если D > 0, есть два различных корня.
Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.
Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.
Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент может быть любым.
Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:
- x2 — 2x + 6 = 0
- x2 — x — 1/4 = 0
В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x2 ), а значит уравнение называется приведенным.
- 2x2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это не приведённое квадратное уравнение.
Каждое не приведённое квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.
Чтобы превратить не приведённое уравнение к приведённому нужно разделить обе части на старший коэффициент.
Пример: 8x2 + 20x — 9 = 0
Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x2 + 2,5x — 1,125 = 0.
Полные и неполные квадратные уравнения
В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.
Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято назвать неполным.
Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.
Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.
Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.
Решение неполных квадратных уравнений
№1 −6x2 = 0
Как решаем:
- Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
- По шагам решение выглядит так:−6x2 = 0x2 = 0x = √0x = 0
Ответ: 0.
№2 8x2 + 5 = 0.
Как решать:
- Перенесем свободный член в правую часть:8x2 = - 5
- Разделим обе части на 8:x2 = - 5/8
- В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.
Ответ: уравнение 8x2 + 5 = 0 не имеет корней.
№3 0,5x2 + 0,125x = 0
Как решать:
- Вынести х за скобки (0,5x + 0,125) = 0
- Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
- Решить линейное уравнение:0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5 - Разделить:х = 0,25
- Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.
Ответ: х = 0 и х = 0,25.
На этом всё. Позже я расскажу о методе выделения полного квадрата и о теореме Виета.