Довольно серьёзной проблемой в алгебре является использование теории множеств, которая содержит большое количество логических ошибок, ключевыми из которых являются определение множества как набора или совокупности объектов, отсутствие понятия отношений и наличие понятия «пустое множество». Теория множеств привела к многочисленным ошибкам в математике и безнадёжно устарела. Поэтому сразу предлагаю заменить её на системную логику. В пользу последней говорит тот простой факт, что она полностью решила проблему парадоксов в логике, в то время как теория множеств только ещё больше всё запутала.
Итак, система – это совокупность объектов и отношений между ними. Любой объект определяется через отношения, в которые он вступает. Любое отношение определяется объектами, которые в него вступают. Минимальная система состоит из двух объектов и одного отношения между ними. Не бывает «пустых» систем; более того, не бывает систем, состоящих из одного объекта. Не бывает отношения объекта к самому себе. Системы могут быть разного типа: действительные и искусственные, конечные и бесконечные, постоянные и переменные, абсолютные и относительные, закрытые и открытые, однородные и неоднородные.
В алгебре системная логика (в силу молодости последней как теории) практически не применяется, поэтому требовать от математиков какого-либо соблюдения законов системной логики пока не приходится. Тем более не приходится требовать от них делать различие между разными типами систем. А различия могут быть довольно существенными. Например, ноль обозначает совершенно разные понятия в абсолютных и относительных системах; в постоянных системах, в отличие от переменных, нельзя умножать или делить на относительную единицу; в закрытых системах мы не можем ничего вычесть или прибавить, только разделить или соединить; в неоднородных системах мы не можем ничего поделить на равные части и т.п. Вдобавок ко всему существует различие между объектными и относительными числами (о чём математики, боюсь, пока не догадываются). Игнорирование всех этих различий вкупе с нечётким определением некоторых понятий приводит к довольно серьёзным ошибкам и затруднениям в алгебре. Будем исправлять ошибки. Продолжение следует…
