В этой статье я поведаю способ как найти объём, высоту и площадь основания тетраэдра, когда даны только координаты вершин. Структуры статьи такая:
- Быстрая теория
- Подробная теория
- Пример
- Дано: A (Ax, Ay, Az); B (Bx, By, Bz); C (Cx, Cy, Cz); D (Dx, Dy, Dz);
Быстрая теория
Подробная теория
Объем тетраэдра:
Для начала найдем три вектора через эти точки:
AB={Bx-Ax; By-Ay; Bz-Az} = {m1; n1; k1}
AC={Cx-Ax; Cy-Ay; Cz-Az} = {m2; n2; k2}
AD={Dx-Ax; Dy-Ay; Dz-Az} = {m3; n3; k3}
Далее вспомним геометрический смысл смешанного произведение: "модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах". Смешанное произведение можно найти с помощью определителя матрицы, первая строчка которой равна координатам вектора AB, вторая строка = координатам вектора AC, и соответственно третья строка = координатам вектора AD
- Объем параллелепипеда = модуль смешанного произведение трёх векторов
Так же из занятий по геометрии можем вспомнить, что:
- Объем параллелепипеда= 6 * объем тетраэдра
По итогу получаем формулу:
Площадь основания тетраэдра:
Сейчас придется вспомнить геометрический смысл векторного произведения: "модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на этих векторах". Векторное произведение можно найти как определитель матрицы, первая строка равна базисам i j k, вторая равна координатам вектора AB, а третья строка равна координатам вектора AC. В основании тетраэдра лежит треугольник, равный половине параллелограмма, то есть получается, что:
- Площадь параллелограмма = модуль векторного произведения
- Площадь треугольника = половина площади параллелограмма, по итогу получаем формулу
По итогу получаем формулу:
Высота тетраэдра:
Снова вернемся к геометрии, и вспомним такую формулу:
Выведем из этой формулы высоту:
Пример
Дана координаты вершин тетраэдра ABCD: A(0; -2; 1), B(1; 0;4), C(-1; 1; 3), D(6; -5; 6). Вычислить объем тетраэдра, площадь его основания АВС и высоту, опущенную из вершины D.