Сегодня, что бы предсказать или изучить структуру веществ, в том числе твердых тел, достаточно изучить их электронную структуру - то, как ведут себя электроны в материи. Существует огромное количество способов сделать это, однако так было не всегда. И когда-то никто и предположить что маленькие частички материи, масса которых в тысячу раз меньше самого легкого атома, способны отвечать за почти все свойства всего, что нас окружает.
В этой статье мы посмотрим на первую попытку теоретически обосновать это, предпринятую физиком Паулем Друде
До довольно позднего времени твердые вещества описывали лишь на основании их механических свойств, как например твердости — так появилась шкала твердости Мооса. В последствии к этому добавились электромагнитные и термальные свойства, что позволило лучше классифицировать материалы. Однако ни одна теория не могла описать то, почему те или иные вещества имеют свои свойства — к концу XIX века физики не имели ни малейшего понимания того, что скрывается внутри вещества. Так же, как и не знали дискретна ли материя или же она непрерывна. Ощутимый толчок к этому дало одно из величайших открытий конца XIX века.
Теория Друде
В 1897 году Дж. Дж. Томсон открыл первую элементарную частицу — электрон. И это было действительно поразительным открытием того времени. Мало того, что электроны входили в состав любых веществ, так еще и их масса была в тысячу раз меньше массы самого легкого на тот момент иона — атома водорода. Когда же стало понятно, что проводимость в металлах связана именно с электронами, Пауль Друде решил составить теоретическое описание проводимости. За основу он взял единственную на то время многочастичную теорию вещества — кинетическую теорию газов Л. Больцмана, сделав, так сказать, кинетическую теорию газов для заряженных частиц.
Так как проводники электрически нейтральны в свободном виде, и масса электронов ничтожно мала, нужно было придумать тяжелые частицы, которые бы компенсировали и заряд, и массу вещества. Частицы эти были по его предположению зафиксированы, так что бы не влиять на перенос заряда. Сегодня же мы знаем, что этими частицами являются атомные ядра с внутренними электронами, расположенные в четко упорядоченной структуре кристалла. Внешние же электроны не остаются на месте и делокализированы по всему проводнику (рис. 1).
Не имея возможности описать взаимодействие электронов друг с другом, Друде использовал следующее допущение:
Ионы в узлах кристаллической решетки полностью экранируют заряды электронов, что нивелирует взаимодействие электронов между собой
Теперь, получив возможность перейти к модели невзаимодействующих электронов (что в будущем будет довольно частой практикой), Друде описал два возможных взаимодействия, меняющих средний импульс электронов с помощью уравнения (1):
Изменение импульса электрона будет зависеть от электрического поля E, действующего на него (терм -eE в ур. 1). Импульс электрона будет расти — он будет разгоняться под действием поля. Однако по вполне разумным соображениям электрон не должен разгоняться бесконечно. Что-то должно забирать набранный им импульс. Это Друде объяснил тем, что электрон имеет время свободного пробега τ внутри кристалла, после чего происходит столкновение с ионом и импульс поглощается. За это взаимодействие и отвечает второй член — -p/τ.
Решив данное уравнение для стационарного случая (dp/dt=0) получим следующее значение для среднего импульса: p=−eEτ. Подставляем полученный импульс в формулу плотности тока (ур.2), где n — плотность электронов, m — масса электрона.
И мы получаем уравнение, необычайно похожее на известный со школы закон Ома, только для плотности тока:
j=σE
где σ это проводимость (1/R)
Таким образом мы можем увидеть, что выведенная Друде формула прямо дает представление о проводимости, как о времени, которое электроны способны свободно преодолеть внутри материала. И так как проводимости металлов были уже известны, то оказалось несложно посчитать это самое время. Оно оказалось равным 10^(−14) — 10^(−15) секунд. Теперь, посчитав среднюю скорость электронов по кинетической теории газов, можно получить среднюю длину пробега электрона, которая равна 0.1-1 nm. Это соответствует типичным расстояниям между атомами в кристаллах.
Это было огромным успехом теории Друде. Так же эта модель может быть легко перенесена на переменное напряжение, изменив электрическое поле и импульс на их осциллирующие аналоги, или применена для объяснения эффекта Холла.
К тому же, если принять, что тепловая проводимость, как и электрическая, обусловлена электронами, удается объяснить закон Видемана — Франца, постулирующий, что для металлов соотношение между коэффициентом теплопроводности и проводимостью является постоянным.
Однако модель Друде была неспособна объяснить многие критические вещи в твердых телах. Например, термоэлектрический эффект и специфичную теплоемкость — она оказывалась намного меньше, чем 3NkB/2, ожидаемое для газа классических частиц. И объяснение частично кроется в том факте, что электроны не могут быть рассмотрены как классический газ, а нуждаются в квантовой статистике. Именно об этом мы и поговорим в следующей статье.