Задача
Как показала скоростная киносъемка, падающая спиной с 3-го этажа (h = 7 м) кошка сразу начинает быстро вращать хвостом. При этом ее туловище разворачивается в обратную сторону до тех пор, пока не станет в такое положение, при котором можно удобно приземлиться на лапы. Оценить за сколько времени туловище кошки повернется на 180ᵒ и какой высоте падения это будет соответствовать? Угловая скорость вращения хвоста w₁ = 10 рад/с. Для оценки хвост считать тонким однородным стержнем длины l = 20 см и массы m₁ = 100 г, а туловище однородным цилиндром массы m₂ = 2 кг и радиуса R = 5 см. При этом стержень вращается в плоскости перпендикулярной оси цилиндра. Сопротивление воздуха при падении не учитывать.
В соответствии с законом сохранения момента импульса, при вращении хвоста с угловой скоростью w₁, туловище будет вращаться в противоположном направлении с какой-то угловой скоростью w₂ .
Вращение хвоста кошки можно рассматривать как вращение стержня относительно оси, проходящей через его конец (вращательный момент М₁), а вращение туловища – как вращение цилиндра относительно оси симметрии (вращательный момент М₂).
Время, соответствующее углу поворота туловища кошки на π радиан равно:
Высота, соответствующая свободному падения кошки за это время, равна:
В соответствии с законом сохранения момента импульса, вращательные моменты стержня (хвоста) и цилиндра (туловища) по величине равны:
где момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его конец (хвост кошки) равен:
а момент инерции цилиндра относительно оси симметрии (туловище кошки):
Подставим приведенные выражения моментов инерции в уравнение для ω₂ и получим:
Проверим размерность:
Время падения кошки:
Высота, соответствующая свободному падения кошки за это время, равна:
Спасибо за внимание! Ставьте лайки и подписывайтесь :)