Число – это количество соответствий объектов или отношений определённому понятию. Мы считаем не сами объекты или отношения, а их соответствия определённому понятию. Соответствий разным понятиям может быть больше, чем самих объектов. Вспомните старую детскую задачу: два отца, два сына – всего три человека.
Первая логическая оппозиция, которая существует между числами – оппозиция между отсутствием и наличием. Отсутствие выражается только нолём (0), наличие (n) может выражаться любым числом от 1 до ∞, возможно даже дробными числами (своеобразная апория о куче наоборот). Ноль противопоставляется всему классу чисел наличия, он не может противопоставляться каждому числу наличия в отдельности, отлично от других чисел наличия.
Наличие наличия даёт наличие. n×n=n.
Отсутствие наличия даёт отсутствие. n×0=0.
Наличие отсутствия даёт отсутствие. 0×n=0.
Отсутствие отсутствия даёт наличие. 0×0=n.
Таким образом, мы разрушаем первый математический миф, что 0×0=0.
То есть, 0×0 может быть равно любому числу наличия, например, ½, 5 или ∞; причём только одному числу, а не нескольким или всем числам сразу. Это может не укладываться в рамки существующей математической теории, но с точки зрения системной логики здесь нет никакого противоречия или неопределённости. Простая оппозиция между отсутствием и наличием, а уже как количественно выражается наличие – это второй вопрос.
Соответственно, отношение между отсутствием и наличием будет аналогичным.
n/n=n, 0/n=0, n/0=0, 0/0=n*
(Последнее выражение представляет собой особый случай, который связан с особенностями деления, и который мы рассмотрим позже).
Таким образом, мы разрушаем второй миф, что на ноль делить нельзя. Хотя, справедливости ради нужно отметить, что все приведённые формулы не являются буквально формулами умножения и деления, но как формулы отношений они вполне реальны. Если же определять умножение и деление буквально, мы прейдём к выводу, что не только на ноль делить нельзя, но и нельзя также делить или умножать сам ноль.
Дело в том, что ноль как число отсутствия никогда не имеет самостоятельного значения, в отличие от чисел наличия. Отсутствие соответствия понятию не может образовать систему. Каждый раз, когда мы говорим об отсутствии объектов, соответствующих определённому понятию, мы обязательно вводим ограничение – определяем систему, в пределах которой наблюдается отсутствие. Мы не можем произвести никаких действий с этим отсутствием, но вполне можем произвести действия с системой, где определено отсутствие. В отличие от ноля числа наличия могут образовывать самостоятельные системы, с которыми можно производить действия, независимо от включающей системы.
Другое значимое деление чисел – деление на объектные и относительные. Объектные числа показывает количественное соответствие объектов определённому понятию (нижний индекс o). Относительные числа показывают отношения между объектными числами или другими относительными числами (нижний индекс r, r1, r2 и т.д.). Такое разделение поможет понять суть всех количественных отношений и объяснить некоторые неопределённости и спорные моменты, например, почему 0/0 может равняться (и иногда должно равняться) 1, почему иногда нельзя умножать на 1, в чём секрет операций с бесконечностью и т.п.