Вступление
Думаю много кого интересовал факт того, что у подобных фигур площади соотносятся как квадрат коэффициента подобия соответственно. Сегодня я покажу как это доказывается.
Квадрат коэффициента подобия.
У нас есть два треугольника, они подобны с коэффициентом k - а это значит, что у большого треугольника все соответственные стороны, высоты, биссектрисы, и т.д. увеличены в k раз.
Как видно, основание большого треугольника увеличено в k раз.
Давайте теперь к основаниям этих треугольников опустим высоты.
Как опять видно, высота тоже будет увеличена в k раз, т.к. она опущена на соответственную сторону.
Ну и теперь посчитаем площадь этих треугольников через основание и высоту(моя статья где есть док-во этой формулы).
Для удобства запишем формулы рядом.
И теперь сделаем вот такой трюк, мы возьмем и разделим два этих равенства друг на друга.(так можно делать, если они, конечно, не равны нулю, про это я писал статью).
Ну а далее сокращаем одинаковые множители.
Вот и всё, для удобства можно перевернуть дроби
Этот факт очень часто используется на ЕГЭ, он особенно полезен в задачах, связанных с окружностью, здесь есть разбор подобного задания(пример 1).