Всем привет, меня зовут Андрей, это снова я!
Дорогие друзья, подписчики и просто читатели!
Давайте снова вспомним про победителя шоу «Удивительные люди» сезона 2020-го года. Недавно на своем канале я уже вычислил то самое число, корень 9999-й степени из которого вычислил в уме победитель этого самого шоу. А теперь давайте попытаемся повторить то, что сделал этот победитель, то есть именно вычислить корень 9999-й степени из этого длинного числа.
Что известно про это длинное число? Во-первых, известно то, что при извлечении корня 9999-й степени из этого числа мы получим целое число, никаких цифр «после запятой» не будет, потому что наше длинное число – это есть какое-то другое число, но в 9999-й степени. Это важно.
Во-вторых, известно общее число знаков (цифр) в длинном числе. Это 79899, и это тоже важно. Хотя Александр Гуревич сказал, что в большом числе 80000 знаков, более точно это число при желании можно было бы вычислить, но округление этого число до 80000 тоже вполне достаточно для расчетов.
Итак, у нас есть всего два числа. Для удобства будем их называть так: «длинное» (оно же - "большое", и «подкоренное». Если подкоренное число возвести в 9999-ю степень, то получится длинное число.
Что нам еще известно про длинное число? Хотя нам и известны почти 80 тысяч цифр этого числа, наибольший интерес представляют последние несколько цифр этого числа. Сколько именно? Давайте рассчитаем.
Разделим 80000 (приблизительное число знаков большого числа) на 10000 (приблизительное значение нужной нам степени). Получим 8. Это значит, что если десять в восьмой степени мы возведем в 10000-ю степень, то получим 10 в степени 80000, или 80001 знак.
Аналогично, если мы возьмем 10 в седьмой степени, возведем в ту же 10000-ю степень, то получим 10 в степени 70000, или 70001 знак. Очевидно, что наше длинное число намного больше, чем 10 в степени 70000, но чуть-чуть меньше, чем 10 в степени 80000. Это значит, что подкоренное выражение намного больше, чем 10 в степени 7, и чуть-чуть меньше, чем 10 в степени 8. А это значит, что:
в подкоренном выражении будет 8 знаков;
первая цифра подкоренного выражения скорее всего, не меньше, чем 8.
Итак, нас интересуют последние 8 знаков длинного числа. Вот эти последние цифры:
29067211
Что можно сказать? Во-первых, можно вычислить последнюю цифру подкоренного выражения. Небольшое отступление от темы. Известно, что зная последнюю цифру и показатель степени, в которую нужно возвести это число, можно достаточно быстро вычислить последнюю цифру итогового значения. Можно даже составить таблицу:
Что можно сказать по данной таблице?
- Ну, во-первых, если последняя цифра исходного числа была 0, 1, 5 или 6, то при любом показателе степени последняя цифра итогового выражения будет такой же, какой была последняя цифра в исходном числе;
- во-вторых, если последняя цифра исходного числа была 2, то последняя цифра итогового выражения будет:
2, если показатель степени будет иметь остаток 1 при делении на 4;
4, если показатель степени будет иметь остаток 2 при делении на 4;
8, если показатель степени будет иметь остаток 3 при делении на 4;
6, если показатель степени будет иметь остаток 0 при делении на 4.
- в-третьих, если последняя цифра исходного числа была 3, то последняя цифра итогового выражения будет:
3, если показатель степени будет иметь остаток 1 при делении на 4;
9, если показатель степени будет иметь остаток 2 при делении на 4;
7, если показатель степени будет иметь остаток 3 при делении на 4;
1, если показатель степени будет иметь остаток 0 при делении на 4.
- в-четвертых, если последняя цифра исходного числа была 4, то последняя цифра итогового выражения будет:
4, если показатель степени будет нечетным;
6, если показатель степени будет четным.
- в-пятых, если последняя цифра исходного числа была 7, то последняя цифра итогового выражения будет:
7, если показатель степени будет иметь остаток 1 при делении на 4;
9, если показатель степени будет иметь остаток 2 при делении на 4;
3, если показатель степени будет иметь остаток 3 при делении на 4;
1, если показатель степени будет иметь остаток 0 при делении на 4.
- в-шестых, если последняя цифра исходного числа была 8, то последняя цифра итогового выражения будет:
8, если показатель степени будет иметь остаток 1 при делении на 4;
4, если показатель степени будет иметь остаток 2 при делении на 4;
2, если показатель степени будет иметь остаток 3 при делении на 4;
6, если показатель степени будет иметь остаток 0 при делении на 4.
- в-седьмых, если последняя цифра исходного числа была 9, то последняя цифра итогового выражения будет:
9, если показатель степени будет нечетным;
1, если показатель степени будет четным.
Мы видим, что от этой таблицы нам нужны только первые 8 строк. Девятая полностью совпадает с первой, десятая со второй, и так далее. Особым цветом выделена седьмая, потому что наш показатель степени - 9999 - имеет именно 7 в остатке при делении на 8. То есть: была бы последняя цифра какого-то числа в 9999-й степени не единица, мы бы обратили внимание на другую цифру в седьмой строке нашей таблицы. Поскольку в этой седьмой строке есть 10 разных цифр, то мы имеем такую зависимость, при которой одной последней цифре "длинного" числа соответствует только одна цифра подкоренного выражения. Будь в "длинном" числе последняя цифра 7, это бы означало, что в подкоренном выражении последняя цифра будет 3.
Итак, первое лирическое отступление завершилось. Теперь продолжаем делать выводы про наши числа (длинное и подкоренное). Нам известно, что в длинном числе последняя цифра 1, а показатель степени (9999) – это нечетное число, и его остаток при делении на 4 будет равен 3. А это уже автоматически означает, что в подкоренном выражении последняя цифра будет равна 1. В принципе, можно и проще: просто найти остаток числа 9999 при делении на 8 (этот остаток равен семи), а затем найти единственную единицу в седбмой строке нашей таблицы. Поскольку в этой строке других единиц нет, то этот вариант - единственный. То есть: последней цифре 1 "длинного" числа соответствует только одна цифра подкоренного выражения, и эта цифра - единица.
Мы смело исключаем тройку и семерку, потому что тройка и семерка дадут единицу только в том случае, если показатель степени без остатка делится на 4; также исключаем девятку, потому что девятка дает единицу только при четном показателе степени. Остается только один вариант – последняя цифра подкоренного выражения будет равна единице.
Теперь переходим к аналогичному вычислению второй цифры справа. Здесь тоже есть определенная закономерность. Тоже можно составить таблицу:
Здесь все просто. Если мы видим однозначное число, то это значит, что перед ним стоит ноль. Более того, мы видим, что повторяются последние 2 цифры каждые 10 строк, то есть последние 2 цифры длинного числа будут такими же, что и последние 2 цифры подкоренного числа в девятой степени, потому что 9 – это остаток числа 9999 при делении на 9. Итак, нас интересует только та строчка, где показатель степени – 9. Выделим определенным цветом эту строчку:
В этой строчке есть единственное сочетание цифр «11» (а нас именно оно интересует, потому как мы точно знаем, какое у нас длинное число, и какие в нем последние две цифры). Переходим наверх, и мы видим, что данный результат дает подкоренное выражение, содержащее в конце две цифры: 91. Итак, две цифры уже получены.
Теперь идем дальше. Пробуем вычислить таким же образом третью цифру справа. Составим похожую таблицу:
В данной таблице нам за 10 строк не удалось вычислить периодичность, а для того, чтобы все цифры могли уместиться на 1 экран сразу, мы просто продублировали некоторые строки таблицы, поместив их чуть правее. Если мы видим не трехзначное число, то это означает, что перед ним находятся нули (два нуля перед однозначным, один ноль перед двузначным).
А поскольку периодичность найдена и составляет 50, то из этой таблицы нас будет интересовать только строка под номером 49, потому что у числа 9999 будет именно такой остаток при делении на 50.
Итак, выделим эту строчку:
А в нужной нам строчке нас интересует число «211», потому что именно такие три последние цифры у длинного числа. Поднимаясь наверх, мы увидим, что такому сочетанию соответствует сочетание «891» подкоренного числа.
Возможно, все остальные цифры тоже можно вычислить аналогичным образом (правда, чем больше цифр мы будем вычислять именно таким способом, то тем сложнее будут сами вычисления, потому что при увеличении числа цифр существенно увеличивается и период, то есть число возможных комбинаций, но, скорее всего, есть и другие секреты для вычисления подобных цифр.