Появившийся на свет в семье известного художника Карла Беггрова, Александр пришел к живописи окружным путем. Родился в декабре 1841 года, в Санкт-Петербурге. В двенадцатилетнем возрасте начал обучение в инженерном и артиллерийском морских училищах, которое продолжалось десять лет.
Закончив обучение в звании прапорщика, Беггров начинает служить в Императорском Балтийском флоте. Первым кораблем, где он будет нести службу становится «Ослябя» (45-и пушечный фрегат), впоследствии будет переведен на «Александр Невский» (50-и пушечный фрегат, последний военный корабль Российской империи, который был построен из дерева). В 1868 году «Александр Невский» из-за плохой погоды выскакивает на прибрежную косу, в результате чего тонет. Большей части команды удается спастись. Бывший непосредственным участником событий Беггров, чуть позже делает несколько эскизов произошедшего. Благодаря им он познакомился с человеком, в немалой степени определившим его будущее. Главный художник морского штаба А. Боголюбов, получил заказ на изображение этой трагедии. В процессе работы он опирался на те самые рисунки, что сделал Александр.
В 1870 году Беггров при содействии Алексея Боголюбова поступает в Императорскую академию художеств. Там его наставником в пейзажном классе был Михаил Константинович Клодт. Через четыре года, Александр оставляет военную службу и отправляется в Париж. Там он продолжает учебу в мастерской Леона Бонна, но в большей степени у Боголюбова, который в то время пребывал во Франции. Там же он знакомится с Репиным, Савицким и другими русскими художниками, пребывающими в зарубежной командировке. С того времени, его работы будут экспонироваться на выставках Товарищества передвижников, полноценным членом которого, он станет через пару лет.
Художник чередует жизнь в России и во Франции, его картины выставляются на международных выставках и удостаиваются наград. С 1878 года получает должность художника Морского министерства. Из-за своей любви к акварели, Александр Беггров становится одним из учредителей Общества русских акварелистов, председателем общества стал А. Н. Бенуа.
В 1892 году художник строит дом, возле которого разбивает небольшой сад в Гатчине. В этом городе Беггров проведет большую часть времени оставшейся жизни. В 1903 году умирает жена художника, эту утрату он переносит очень тяжело и практически перестает писать новые работы, а со временем начинает раздавать свои художественные принадлежности. В 1912 году переводит 64.000 тысячи рублей в художественную Академию для помощи бедным художникам и их родственникам. Умирает спустя два года, после продолжительной болезни.