Сегодня мы разберём несложное задание №4116 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Хотя, это задание «повышенного» уровня сложности, однако оно вполне по силам ученикам средних способностей.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Найдите наименьшее значение функции:
на отрезке:
Рассуждаем
Как всегда, для нахождения наименьшего или наибольшего значения функции необходимо найти производную, и определить стационарные точки, где производная равна нулю. Максимальное или минимальное значение может быть в одной из этих точек.
Кроме того, следует не забыть, что функция может не иметь экстремумов на заданном отрезке. И тогда максимальное или минимальное значение будет на его концах.
Особые случаи – это точки, где функция не существует, при приближении к ним она может неограниченно возрастать или убывать, но в данном случае, таких точек в функции нет.
Следовательно для выполнения задания следует найти значение функции в стационарных точках и на концах отрезка, и выбрать наименьшее из них.
Производную можно найти, воспользовавшись правилом «производная произведения», однако, поскольку после этого придётся раскрывать скобки и приводить подобные – проще будет сразу раскрыть скобки, привести подобные, а потом – найти производную по обычным правилам нахождения производной степенной функции:
План решения
- Раскроем скобки и приведём подобные в исходной функции.
- Найдём производную получившегося многочлена, используя правила нахождения производной.
- Приравняем производную нулю, и найдём корни.
- Определим значение основной функции в тех найденных точках, которые лежат внутри заданного отрезка, а также значения функции на его концах.
- Выпишем в ответ минимальное из найденных значений.
Решение
Раскроем скобки и приведём подобные в исходной функции:
Производная:
Находим нули производной (используем четверть дискриминанта):
Один из корней находится в пределах заданного отрезка. Следовательно, необходимо найти значение функции в этой точке и на концах отрезка:
Выбирая наименьшее значение, получаем ответ:
Замечание
Для проверки построим график функции:
Как видим, действительно, наименьшее значение функции на заданном отрезке лежит в найденной точке, и оно равно -7