Суть метода интервалов заключается в том, что при переходе с одного промежутка на другой между корнями функция меняет знак. А решение неравенств - нахождение всех точек, где функция больше или меньше нуля. Это зависит от неравенства.
Решение неравенств методом интервалов удобно, когда видны корни - действительные числа. Вся числовая прямая делится на промежутки. Концами этих промежутков являются корни неравенства. Точки рисуются пустыми если неравенство строгое (больше, меньше) или закрашенными, если не строгое больше или равно, меньше или равно нулю.
Алгоритм решения неравенств:
1. Записать неравенство в стандартном виде. Для этого надо приравнять к нулю функцию и найти корни. Или записать в стандартном виде: (х - х1)(х - х2) ...(х - хт) больше, меньше 0
2. Нарисовать числовую прямую. Отметить точки выколотые (или закрашенные) в зависимости от того, принадлежат точки (или нет). То есть строгое или нет неравенство.
3. Выбрать участок с плюсом, если больше нуля, или с минусом, если меньше нуля.
4. Записать ответ.
В ответе использовать круглые скобки, если неравенство строгое, или квадратные если нестрогое (больше или равно, меньше или равно).
Пример 5
Рассмотрим не строгое неравенство (х -3)(х - 2) <= 0
На числовой прямой будут точки 2, 3 - корни уравнения: (х -3)(х - 2) = 0
Считаем знак:
1). На промежутке от минус бесконечности до 2. Возьмём число 1.
Тогда произведение (1 - 3)(1 - 2) положительно, а у нас меньше или равно нулю. Этот участок в ответ не пишем.
2). На интервале (2;3) берём точку 2.5. Считаем знак. Произведение (2.5 - 3)(2.5 - 2) <0. Этот промежуток подходит для решения неравенства.
3). На промежутке от 3 до плюс бесконечности берём точку 4. Считаем знак произведения: (4 - 3)(4-2) >0
Итак, подходит средний промежуток. Так как неравенство не строгое, то в ответе скобки квадратные.
Ответ: 2 <= х <= 3
При решении неравенств с дробями важно учесть, что знаменатель не должен быть равен нулю. Если неравенство строгое, то проблем нет. просто переходим к умножению.
Если неравенство не строгое меньше или равно нулю (или больше или равно нулю), то нужно решить систему и написать, что знаменатель не равен нулю.
Можно написать без системы.
Пример 11.
(х - 1)/(х - 2) больше 0
Пишем произведение: (х - 1)(х - 2) больше 0 и х - 2 не равен 0
х не равно 2.
Отмечаем точки: 1, 2. Считаем знак на числовой прямой.
Берём точку с первого промежутка - 3 и считаем знак произведения:
(-3 -1)(-3-2) >0.
Берём любое число из интервала (1;2) и считаем знак функции:
(1.5 -1)(1.5 - 2) с0,
Последний интервал: из него берём любую точку, например, 4 и считаем знак.
(4-1)(4-2) > 0.
Выбираем промежутки, подходящие к нашему неравенству.
Ответ: (от минус бесконечности;1); (2; плюс бесконечности).
Можно записать ответ по-другому: Х <1; Х>2