Эта статья будет полезна как 10-ти и 11-ти классникам, которые готовятся к ЕГЭ по математике, так и 9-ти классникам во время подготовки к ОГЭ по математике. В статье рассмотрим принципы решения следующих иррациональных уравнений методом равносильных преобразований:
Иррациональные ур-я вида √f(x) = g(x)
Для решения уравнений подобного вида нужно возвести обе части уравнения в квадрат. Одновременно выражение, которому равен корень, должно быть неотрицательным.
Рассмотрим пример:
Для решения данного уравнения необходимо сначала оставить иррациональное выражение "в одиночестве" от знака равенства. Затем применим равносильное преобразование. Выражение, которому равен корень, должно быть неотрицательным, поэтому получаем ограничение: Х должен быть неположительным. Также решаем получившееся после возведения в квадрат обеих частей квадратное уравнение и получаем два корня: -5 и 2. С учетом ограничения решением данного уравнения будет число -5.
Иррациональные ур-я вида √f(x) = √g(x)
Для решения уравнений подобного вида нужно возвести обе части уравнения в квадрат. То же самое, что приравнять подкоренные выражения. Одновременно одно из подкоренных выражений должно быть неотрицательным. Выбирать для проверки необходимо то подкоренное выражение, которое легче проверять. Проверять оба выражения сразу не обязательно.
Рассмотрим пример:
При решении данного уравнения необходимо приравнять подкоренные выражения. Затем на одно из подкоренных выражений наложить ограничение: оно должно быть неотрицательным. Я выбрала для проверки подкоренное выражение в правой части уравнения, поэтому получено ограничение: Х должен быть неположительным. Решаем получившееся линейное уравнение и получаем х равный -10, что соответствует полученному ранее ограничению.
Иррациональные уравнения вида √f(x)+√g(x)=√h(x) и сводимые к ним
Для решения уравнений подобного вида нужно возвести обе части уравнения в квадрат, а также проверить на неотрицательность подкоренные выражения. После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых будет получено уравнение,решение которого было рассмотрено ранее.
Рассмотрим пример:
При решении данного уравнения необходимо обе части возвести в квадрат, а также проверить на неотрицательность подкоренные выражения (условия существования). Затем, необходимо привести подобные слагаемые и оставить корень "в одиночестве" от знака равенства. Также необходимо вычислить ограничения для Х. Получаем уравнение, которое решается также путем возведения обеих частей в квадрат. Не забываем проверять на неотрицательность правую часть уравнения. Корнями полученного квадратного уравнения являются числа -1 и 4, но с учётом ограничений ответом уравнения является число 4.
Иррациональные ур-я вида f(x)*√g(x)=0
Данный вид уравнений решается путём перехода к равносильной совокупности. Необходимо помнить правило: произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй не теряет смысла. Получается, подходит вариант, когда подкоренное выражение равно нулю, тогда второй множитель может принимать любое значение. Либо подходит вариант, когда второй множитель равен нулю, но в таком случае необходимо, чтобы подкоренное выражение существовало, т.е. было неотрицательным.
Рассмотрим пример:
Данное произведение обнулится в 2-х случаях: если подкоренное выражение будет равно нулю, либо если разность квадратов будет равна нулю при условии, что корень существует, т.е. подкоренное выражение неотрицательно. Первое условие даёт корень 7, а второе -8.
Иррациональные ур-я вида f(x)/√g(x)=0
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае появляется дополнительное ограничение из-за корня в знаменателе - знаменатель должен быть положительным. Поэтому равносильным преобразованием будет система, где выражение в числителе будет равно нулю, а подкоренное выражение положительно.
Рассмотрим пример:
Чтобы решить данный пример необходимо числитель приравнять к нулю, а подкоренное выражение проверить на положительность. В ходе решения с учётом ограничений получается корень 8/3.
Иррациональные ур-я вида √g(x)/f(x)=0
В данном случае дробь равна нулю, если подкоренное выражение, т.е. числитель, равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому равносильным преобразованием будет система, где подкоренное выражение в числителе будет равно нулю, а знаменатель не равен нулю.
Рассмотрим пример:
Для того, чтобы решить данный пример нужно подкоренное выражение приравнять к нулю, а также выражение в знаменателе должно быть не равным нулю. Корнем уравнения с учётом ограничений является число 7.