Нормальное и логнормальное распределение.

Ну что, не пора ли нам замахнуться на Уильяма, пАнимаешь, Иваныча Шекспира?

Сегодня будем разбираться что такое нормальное распределение, что такое логнормальное распределение и чем они отличаются друг от друга.

Все умозаключения делаю через призму трейдинга, надергаю кучу скринов из Опционного чата, как раз недавно обсуждали эту тему и попробую всё систематизировать.

Итак, начнем с определения, что такое логнормальное распределение?

Чтобы было нагляднее, давайте представим, что имеем дело с двумя рядами:

Теперь из каждого значения первого ряда вычтем 1, чтобы отнормировать эти ряды относительно общего знаменателя, ведь мы знаем, что Ln (1)=0, получится следующее:

Мы видим, что F1=(Х2/X1-1) и F2=Ln(X2/X1) это абсолютно разные функции, графически их можно сравнить следующим образом:

И теперь возникает самый главный вопрос: а чем же нормальность отличается от логнормальности?

А ответ как раз представлен вверху на графике.

Возьмем расчеты для нескольких точек, чтобы было понятно и представим, что имеем дело с фьючерсом на индекс РТС, который сейчас торгуется вблизи отметки 100 000:

Нормальное распределение.

1. Если цена идёт на 150000, тогда 150000/100000-1=+0,5, т.е. это рост на +50%;

2.Если цена идёт на 50000, тогда 50000/100000-1=-0,5, т.е. произошло падение на -50%;

Логнормальное распределение.

1. Если цена идёт на 150000, тогда Ln(150000/100000)=+0,4055, т.е. это рост на +41%;

2.Если цена идёт на 50000, тогда Ln(50000/100000)=-0,6931, т.е. произошло падение на -69%;

Графически это выглядит следующим образом:

Оливковым цветом обозначены отрезки, которые показывают, что на росте логнормальное распределение догоняет нормальное чуть сильнее, чем на падении (1 клетка разницы на росте против 2 клетки разницы на падении).

Рассмотрев этот банальный пример, уже становится понятно, что ветви логнормального распределения слева должны лежать ниже, чем у нормального, а справа наоборот.

Графическое пояснение приведено на картинке:

Данное смещение ветвей у логнормального распределения относительно нормального также говорит о том, что у него будут смещены вправо медиана и среднее значение, а вот моды у них будут сопоставимы:

Мода осталась на месте, а медиана у логнормального смещена вправо

При этом, если медиана смещена вправо, это значит, что имея дело с базовым активом (БА) логнормально распределённым, мы получим бОльшую вероятность, что у этого БА движение будет вправо, а не влево, ну т.е. вероятность на рост выше, чем вероятность на падение.

Это следует из определения медианы:

Т.е. медиана рассекает нашу кривую в пропорции 50 на 50, и площадь под кривой слева будет = площади под кривой справа, а значит математическое ожидание на рост будет ненулевым, как у нормального распределения.

Как это всё применить на практике?

Если вы видите, что какой-то БА распределен логнормально, значит его нужно лонговать и ни в коем случае не шортить!

-----------

Любите ❤️ опционы, торгуйте грамотно!

С уважением, Карлсон .

p.s. кому интересно, свои мысли по рынку кидаю в телегу @KarLsoH, там же есть и опционный чат.