Здравствуй, дорогой читатель!
Сегодня я расскажу про самую необычную фигуру, созданную человеком.
С научной точки зрения, гёмбёц – это трёхмерное выпуклое тело с одной устойчивой и одной неустойчивой точкой равновесия (Википедия), но на самом деле это просто неваляшка. Детская игрушка — «неваляшка», как бы ее ни наклоняли, всегда возвращается в исходное положение. У нее два положения равновесия, одно устойчивое и одно неустойчивое (если поставить ее на голову, она перевернется при малейшем отклонении). Это свойство, называемое моно-моностатичностью, обусловлено конструкцией игрушки — на дне находится груз, а сверху она пустая. А можно ли сделать однородный моно-моностатический объект? Двум венгерским инженерам это удалось. Их звали Габор Домокош и Джим Пападопулос.
В конце 80-ых, Джим заинтересовался положениями равновесия разных тел, изготовленных из фанеры (плоских, с однородной массой) и проволоки (масса которых распределена по контуру). Например, квадрат имеет четыре положения устойчивого равновесия, он может стоять на каждой из своих сторон, и четыре положения неустойчивого равновесия — стоя на каждой из вершин. Эллипс имеет положение устойчивого равновесия при горизонтальной ориентации длинной оси и неустойчивое — при вертикальной; он симметричен, поэтому имеет два устойчивых и два неустойчивых положения равновесия. Джим пришел к выводу, что это минимальное количество положений равновесия для любой фигуры.
Все другие виды тел (с большим количеством положений равновесия) могут быть получены из гёмбёца путем последовательного удаления малых количеств материала. То есть в математическом смысле гёмбёц является «предком» всех форм, а значит, не существует общего алгоритма создания гёмбёца из произвольного тела с большим количеством положений равновесия. В природе всё иначе: гёмбёц не «предок» форм камней, а конечная (хотя и недостижимая), цель их эволюции — и это настоящая загадка.
В 1995 году Габор Домокош встретился с одним из крупнейших математиков XX века Владимиром Арнольдом на Международном конгрессе индустриальной и прикладной математики в Гамбурге. Арнольд читал там лекцию, посвященную теореме Якоби. Как вспоминает Габор Домокош, «Арнольд рассказывал о разных задачах — дифференциальная геометрия, оптика, механика. Каждая задача имела отношение к числу четыре. Четыре — в этой задаче, четыре — в следующей, четыре, четыре, четыре. Тогда я вспомнил о том, что в нашей статье также было доказано, что плоское тело имеет четыре положения равновесия — два устойчивых, два неустойчивых. Это заставило меня задуматься: может быть, и наша задача имеет отношение к этой теореме?» После конференции, как вспоминает Габор Домокош, ему удалось побеседовать с Владимиром Арнольдом, хотя разговор продолжался всего 15 минут: «Я рассказал о фигурах из фанеры и проволоки и о том, что они имеют не менее двух положений устойчивого и не менее двух неустойчивого равновесия, в сумме четыре. Арнольд выслушал меня и задумался. Через пять минут я спросил его, хочет ли он знать, как мы это доказали, на что он ответил: «Конечно, я знаю, как вы это доказали. Но это не то, о чем я думаю. Вопрос в том, имеет ли это отношение к теореме Якоби или нет». Через какое-то время он продолжил: «Я думаю, что теорема Якоби и ваша задача связаны, но связь непрямая. Я думаю, что есть еще одна теорема, которая включает теорему Якоби и вашу задачу. Я мог бы сказать больше, если бы вы рассказали мне о трехмерной версии вашей задачи». Я с гордостью описал ему контрпример — тело, имеющее одно положение устойчивого равновесия: срезанный цилиндр. На что Арнольд заметил: «Вы, конечно, понимаете, что это не контрпример! Главный результат вашей работы состоит не в том, что тело имеет два и больше устойчивых положений равновесия, а в том, что оно имеет четыре положения равновесия. И ваш цилиндр имеет четыре положения равновесия — одно устойчивое и три неустойчивых. В то же время тело с меньшим числом положений равновесия может существовать. Напишите мне письмо, когда найдете его».
Доказательство существования такого тела и поиск его формы заняли десять лет. В 2006 году Габор Домокош и его бывший аспирант Петер Варконьи, работавший тогда в Принстонском университете, опубликовали две статьи. В одной они доказали существование моно-моностатических тел, в другой описали форму такого тела, которому дали название «гёмбёц», взятое из венгерского языка.
Что произойдет с черепахой, если она случайно перевернется на спину? Оказывается, что среди 200 существующих на Земле видов черепах есть длиннолапые, которые пользуются лапами, чтобы перевернуться со спины на брюшко, и коротколапые. К последним относятся индийские звездчатые черепахи Geochelone elegans, а перевернуться им помогает форма панциря, близкая к форме гёмбёца. Конечно, это не совсем корректная аналогия: черепахи не являются ни однородными, ни моно-моностатичными. Но им не нужно быть в точности моно-моностатичными, поскольку они способны помогать перевороту движением лап. С другой стороны, близость к форме моно-моностатичного объекта вряд ли можно считать случайным совпадением — это явный продукт эволюции.
Для построения гёмбёца Домокош и Варконьи, по сути дела, меняли поверхность шара, отслеживая два параметра: выпуклость и положение центра тяжести. Конечно, существует бесконечное множество тел, обладающих свойствами моно-моностатичности, и гёмбёц — лишь одно из них.
Библиография: