https://www.coursera.org/learn/mathematical-thinking/lecture/8UyP0/lecture-0-welcome
Перевод файла Background_Reading.pdf
КИТ ДЕВЛИН: Введение в математическое мышление
Что такое математика?
За все время, которое школы посвящают преподаванию математики, очень мало времени (если вообще тратится) тратится на то, чтобы просто донести суть предмета. Вместо этого основное внимание уделяется изучению и применению различных процедур для решения математических задач. Это немного похоже на объяснение футбола, когда говорят, что он выполняет серию маневров, чтобы забить мяч в ворота. Описывают различные ключевые особенности, но они упускают из виду “что?” и “почему?” общей картины.
Учитывая требования учебной программы, я могу понять, как это происходит, но я думаю, что это ошибка. Особенно в современном мире общее понимание природы, масштабов, возможностей и ограничений математики является ценным. За прошедшие годы я встречал многих людей, получивших дипломы по таким математически насыщенным предметам, как инженерное дело, физика, информатика и даже сама математика, которые рассказывали мне, что они прошли все свое школьное и высшее образование, так и не получив хорошего представления о том, что представляет собой современная математика. Только позже в жизни они иногда улавливают проблеск истинной природы предмета и начинают понимать степень его всепроникающей роли в современной жизни.
- Больше, чем арифметика
Большая часть математики, используемой в современной науке и технике, существует не более трех- или четырехсот лет, а многим из них меньше ста лет. Тем не менее, типичная школьная программа включает математику, которой по меньшей мере триста лет, а некоторым из них более двух тысяч лет!
Нет ничего плохого в том, чтобы учить чему-то столь древнему. Как говорится, если что-то не сломалось, не чините его. Алгебра, которую арабоязычные торговцы разработали в восьмом и девятом веках (слово происходит от арабского термина "аль-джабр") для повышения эффективности своих деловых операций, остается такой же полезной и важной и сегодня, как и тогда, хотя сегодня мы можем реализовать ее в виде макроса электронной таблицы, а не средневековой расчет пальцев.
Но время идет, и общество развивается. В процессе возникает потребность в новой математике, которая со временем удовлетворяется. Образование должно идти в ногу со временем.
Считается, что математика началась с изобретения чисел и арифметики около десяти тысяч лет назад, чтобы дать миру деньги. (Да, кажется, все началось с денег!)
В последующие столетия древние египтяне и вавилоняне расширили этот предмет, включив в него геометрию и тригонометрию.1 В тех цивилизациях математика была в значительной степени утилитарной и в значительной степени разновидностью “кулинарной книги”. (“Проделайте то-то и то-то с числом или геометрической фигурой, и вы получите ответ”.)
Период примерно с 500 г.до нашей эры до 300ce это была эпоха греческой математики. Математики Древней Греции особенно высоко ценили геометрию. Действительно, они рассматривали числа в геометрическом смысле, как измерения длины, и когда они обнаружили, что существуют длины, которым их числа не соответствуют (открытие иррациональных длин), их изучение чисел в значительной степени прекратилось.2
Фактически, именно греки превратили математику в область изучения, а не просто в набор методов измерения, счета и учета. Около 500 до нашей эры, Фалес из Милета (ныне часть Турции) выдвинул идею о том, что точно сформулированные утверждения математики могут быть логически доказаны с помощью формальных аргументов. Это нововведение ознаменовало рождение теоремы, которая в настоящее время является основой математики. Для греков кульминацией такого подхода стала публикация "Элементов" Евклида, считающейся самой распространенной книгой всех времен после Библии3.
Развитие современной пространственно-стоимостной арифметики в Индии в первой половине Первого тысячелетия и ее расширение (включая алгебру) торговцами и учеными мусульманского мира во второй половине тысячелетия продвинули предмет дальше, а усвоение этих идей в Южной Европе в средневековые времена заняло его еще больше. далее.4
Хотя с тех пор математика продолжает развиваться и не проявляет никаких признаков остановки, в целом школьная математика включает в себя события, которые я перечислил выше, вместе с двумя дальнейшими достижениями, оба из семнадцатого века: исчисление и теория вероятностей. Практически ничто из того, что произошло за последние триста лет, не попало в школьный класс. И все же большая часть математики, используемой в современном мире, была разработана за последние двести лет!
В результате любой, чей взгляд на математику ограничен тем, что обычно преподается в школах, вряд ли поймет, что исследования в области математики являются процветающей деятельностью во всем мире, или согласится с тем, что математика проникает, часто в значительной степени, в большинство сфер современной жизни и общества. Например, они вряд ли знают, в какой организации в Соединенных Штатах работает наибольшее число докторов наук по математике. (Ответ почти наверняка - Агентство национальной безопасности, хотя точное число является государственной тайной. Большинство из этих математиков работают над взломом кода, чтобы позволить агентству читать зашифрованные сообщения, которые перехватываются системами мониторинга — по крайней мере, так принято считать, хотя опять же Агентство не говорит.)
Взрыв математической активности, произошедший, в частности, за последние сто лет или около того, был драматичным. В начале двадцатого века математику можно было разумно рассматривать как состоящую примерно из двенадцати отдельных предметов: арифметики, геометрии, исчисления и еще нескольких. Сегодня разумной цифрой было бы от шестидесяти до семидесяти различных категорий. Некоторые предметы, такие как алгебра или топология, разделились на различные подполя; другие, такие как теория сложности или теория динамических систем, являются совершенно новыми областями изучения.
Резкий рост математики привел в 1980-х годах к появлению нового определения математики как науки о закономерностях. Согласно этому описанию, математик идентифицирует и анализирует абстрактные закономерности — числовые закономерности, закономерности формы, закономерности движения, закономерности поведения, закономерности голосования в популяции, закономерности повторяющихся случайных событий и так далее. Эти паттерны могут быть реальными или воображаемыми, визуальными или ментальными, статическими или динамическими, качественными или количественными, утилитарными или развлекательными. Они могут возникать из окружающего нас мира, из стремления к науке или из внутренней работы человеческого разума. Различные виды паттернов порождают различные разделы математики. Например:
- Арифметика и теория чисел изучают закономерности числа и счета.
- Геометрия изучает закономерности формы.
- Исчисление позволяет нам обрабатывать паттерны движения.
- Логика изучает закономерности рассуждений.
- Теория вероятностей имеет дело с закономерностями случайности.
- Топология изучает закономерности близости и положения.
- Фрактальная геометрия изучает самоподобие, обнаруженное в мире природы.
- Математическая нотация
Одним из аспектов современной математики, который очевиден даже случайному наблюдателю, является использование абстрактных обозначений: алгебраических выражений, сложных формул и геометрических диаграмм. Зависимость математиков от абстрактных обозначений является отражением абстрактной природы изучаемых ими паттернов.
Различные аспекты реальности требуют различных форм описания. Например, самый подходящий способ изучить местность или описать кому-нибудь, как ориентироваться в незнакомом городе, - это нарисовать карту. Текст гораздо менее уместен. Аналогично, аннотированные линейные чертежи (чертежи) являются подходящим способом определения конструкции здания. А нотная запись - это самый подходящий способ представления музыки на бумаге.
В случае различных видов абстрактных, формальных шаблонов и абстрактных структур наиболее подходящим средством описания и анализа является математика, использующая математические обозначения, концепции и процедуры. Например, символическая нотация алгебры является наиболее подходящим средством описания и анализа общих поведенческих свойств сложения и умножения.
Например, коммутативный закон сложения может быть записан на английском языке как:
Когда складываются два числа, их порядок не имеет значения.
Однако обычно она записывается в символической форме
m + n = n + m
Сложность и степень абстракции большинства математических моделей таковы, что использовать что-либо иное, кроме символических обозначений, было бы непомерно громоздко. Таким образом, развитие математики привело к неуклонному росту использования абстрактных обозначений.
Хотя введение символической математики в ее современной форме обычно приписывают французскому математику Франсуа Виету в шестнадцатом веке, самое раннее появление алгебраической нотации, по-видимому, относится к работе Диофанта, который жил в Александрии около 250 годаce Его тринадцатитомный трактат "Арифметика" (сохранилось всего шесть томов) обычно считается первым учебником алгебры. В частности, Диофант использовал специальные символы для обозначения неизвестного в уравнении и для обозначения степеней неизвестного, а также у него были символы для вычитания и равенства.
В наши дни книги по математике, как правило, изобилуют символами, но математическая нотация - это математика не больше, чем нотная нотация - музыка. Страница с нотами представляет собой музыкальное произведение; сама музыка - это то, что вы получаете, когда ноты на странице поются или исполняются на музыкальном инструменте. Именно в его исполнении музыка оживает и становится частью нашего опыта; музыка существует не на печатной странице, а в нашем сознании. То же самое верно и для математики; символы на странице - это просто представление математики. При чтении компетентным исполнителем (в данном случае человеком, обученным математике) символы на печатной странице оживают — математика живет и дышит в сознании читателя, как некая абстрактная симфония.
Повторяю, причиной абстрактной нотации является абстрактная природа паттернов, которые математика помогает нам выявлять и изучать. Например, математика необходима для нашего понимания невидимых закономерностей Вселенной. В 1623 году Галилей написал,
Великая книга природы может быть прочитана только теми, кто знает язык, на котором она была написана. И этот язык - математика.5
На самом деле физику можно точно описать как Вселенную, рассматриваемую через призму математики.
Возьмем только один пример: в результате применения математики для формулирования и понимания законов физики у нас теперь есть воздушные путешествия. Когда реактивный самолет пролетает над головой, вы не видите ничего, что его удерживает. Только с помощью математики мы можем “увидеть” невидимые силы, которые удерживают ее в воздухе. В данном случае эти силы были идентифицированы Исааком Ньютоном в семнадцатом веке, который также разработал математику, необходимую для их изучения, хотя должно было пройти несколько столетий, прежде чем технология развилась до такой степени, что мы действительно могли использовать математику Ньютона (дополненную множеством дополнительных математических разработок, разработанных за это время) строить самолеты. Это всего лишь одна из многих иллюстраций одного из моих любимых мемов для описания того, что делает математика: математика делает невидимое видимым.
- Современная математика на уровне колледжа
Имея за плечами этот краткий обзор исторического развития математики, я могу начать объяснять, как современная математика в колледже стала коренным образом отличаться от математики, преподаваемой в школе.
Примерно 150 лет назад, хотя математики уже давно расширили область изучаемых ими объектов за пределы чисел (и алгебраических символов для чисел), они все еще рассматривали математику в первую очередь как вычисление. То есть знание математики по сути означало способность выполнять вычисления или манипулировать символическими выражениями для решения задач. По большому счету, математика в средней школе все еще во многом основана на этой более ранней традиции.
Но в девятнадцатом веке, по мере того как математики решали задачи все большей сложности, они начали обнаруживать, что их интуиции иногда недостаточно, чтобы руководить их работой. Парадоксальные (а иногда и парадоксальные) результаты заставили их осознать, что некоторые методы, разработанные ими для решения важных реальных проблем, имеют последствия, которые они не могут объяснить. Например, один из таких, парадокс Банаха–Тарского, гласит, что вы можете, в принципе, взять сферу и разрезать ее таким образом, чтобы вы могли собрать ее заново, чтобы сформировать две идентичные сферы, каждая из которых имеет тот же размер, что и исходная.
Тогда стало ясно, что математика может привести к областям, где понимание достигается только через саму математику. (Поскольку математика верна, результат Банаха–Тарского должен был быть принят как факт, хотя он и бросает вызов нашему воображению.) Чтобы быть уверенными в том, что мы можем полагаться на открытия, сделанные с помощью математики, но не поддающиеся проверке другими средствами, математики обратили методы математики внутрь и использовали их для изучения самого предмета.
Этот самоанализ привел в середине девятнадцатого века к принятию новой и иной концепции математики, где основное внимание больше уделялось не вычислению или вычислению ответа, а формулированию и пониманию абстрактных понятий и отношений. Это был сдвиг акцента с делания на понимание. Математические объекты больше не рассматривались как данные в основном с помощью формул, а скорее как носители концептуальных свойств. Доказательство чего-либо было уже не вопросом преобразования терминов в соответствии с правилами, а процессом логического вывода из концепций.
Эта революция — ибо именно к этому она привела — полностью изменила представление математиков о своем предмете. Тем не менее, для остального мира этот сдвиг с таким же успехом мог и не произойти. Впервые кто-либо, кроме профессиональных математиков, понял, что что-то изменилось, когда новый акцент был сделан на учебную программу бакалавриата. Если вы, студент колледжа математики, почувствуете, что вас шатает после первого знакомства с этой “новой математикой”, вы можете возложить вину на математиков Лежена Дирихле, Ричарда Дедекинда, Бернарда Римана и всех остальных, кто предложил новый подход.
В качестве предвкушения того, что должно произойти, я приведу один пример такого сдвига. До девятнадцатого века математики привыкли к тому факту, что формула, такая как y = x2 + 3 x − 5, определяет функцию, которая производит новое число y из любого заданного числа x. Затем появился революционер Дирихле и сказал: забудьте формулу и сосредоточьтесь на том, что делает функция с точки зрения поведения ввода–вывода. Функция, согласно Дирихле, - это любое правило, которое производит новые числа из старых. Правило не обязательно должно быть задано алгебраической формулой. На самом деле, нет никаких причин ограничивать свое внимание цифрами.
Функцией может быть любое правило, которое берет объекты одного вида и создает из них новые объекты. Это определение узаконивает функции, подобные той, которая определена для действительных чисел правилом:
Если x рационально, установите f(x) = 0; если x иррационально, установите f (x) = 1.
Попробуй изобразить этого монстра на графике!
Математики начали изучать свойства таких абстрактных функций, определяемых не какой-то формулой, а их поведением. Например, обладает ли функция тем свойством, что, когда вы представляете ее с разными начальными значениями, она всегда выдает разные ответы? (Это свойство называется инъективностью.)
Этот абстрактный, концептуальный подход оказался особенно плодотворным при разработке нового предмета под названием реальный анализ, где математики изучали свойства непрерывности и дифференцируемости функций как самостоятельные абстрактные понятия. Французские и немецкие математики разработали “эпсилон-дельта-определения” непрерывности и дифференцируемости, освоение которых по сей день стоило стольких усилий каждому новому поколению студентов, изучающих математику после математического исчисления.
Опять же, в 1850-х годах Риман определил сложную функцию по ее свойству дифференцируемости, а не по формуле, которую он считал второстепенной.
Классы вычетов, определенные известным немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855), с которыми вы, вероятно, встретитесь в курсе алгебры, были предшественниками подхода, ставшего теперь стандартным, согласно которому математическая структура определяется как множество, наделенное определенными операциями, поведение которых определяется аксиомами.
Следуя примеру Гаусса, Дедекинд исследовал новые концепции кольца, поля и идеала, каждое из которых было определено как совокупность объектов, наделенных определенными операциями. (Опять же, это концепции, с которыми вы, вероятно, вскоре столкнетесь в своем пост-математическом образовании.) И было еще много изменений.
Как и большинство революций, перемены девятнадцатого века зародились задолго до того, как на сцену вышли главные действующие лица. Греки, безусловно, проявляли интерес к математике как к концептуальному занятию, а не только к вычислениям, и в семнадцатом веке соавтор исчисления Готфрид Лейбниц глубоко задумался об обоих подходах. Но по большей части, вплоть до девятнадцатого века, математика рассматривалась прежде всего как набор процедур для решения задач. Однако для сегодняшних математиков, воспитанных исключительно на постреволюционной концепции математики, то, что в девятнадцатом веке было революцией, просто воспринимается как то, чем является математика. Революция, возможно, была тихой и в значительной степени забытой, но она была полной и далеко идущей. И это создает основу для этой книги, главная цель которой - предоставить вам основные ментальные инструменты, которые вам понадобятся, чтобы войти в этот новый мир современной математики (или, по крайней мере, научиться мыслить математически).
Хотя концепция математики, сложившаяся после девятнадцатого века, в настоящее время доминирует в области математики на уровне колледжа, она не оказала большого влияния на математику средней школы - вот почему вам нужна такая книга, как эта, чтобы помочь вам совершить переход. Была одна попытка внедрить новый подход в школьные классы, но все пошло наперекосяк, и вскоре от него пришлось отказаться. Это было так называемое движение “Новой математики” 1960-х годов. Что пошло не так, так это то, что к тому времени, когда послание революционеров проникло с математических факультетов ведущих университетов в школы, оно было сильно искажено.
Для математиков до и после середины 1800-х годов как вычисления, так и понимание всегда были важны. Революция девятнадцатого века просто сместила акцент в отношении того, о какой из двух тем шла речь на самом деле, а какая играла производную или вспомогательную роль. К сожалению, послание, которое доходило до школьных учителей страны в 1960-х годах, часто звучало так: “Забудьте о навыках вычисления, просто сосредоточьтесь на концепциях”. Эта нелепая и в конечном счете катастрофическая стратегия привела сатирика (и математика) Том Лерер к песне Новая математика: “Важен метод, не обращайте внимания, если вы не получите правильного ответа”. После нескольких печальных лет “Новая математика” (заметьте, ей было уже более ста лет) была в значительной степени исключена из школьной программы.
Такова природа формирования образовательной политики в свободных обществах, и маловероятно, что такое изменение когда-либо может быть произведено в обозримом будущем, даже если бы оно было сделано должным образом во второй раз. Также неясно (по крайней мере, для меня), было бы ли такое изменение вообще желательным. Существуют образовательные аргументы (которые в отсутствие убедительных доказательств в любом случае горячо обсуждаются), в которых говорится, что человеческий разум должен достичь определенного уровня мастерства в вычислениях с абстрактными математическими объектами, прежде чем он сможет рассуждать об их свойствах.
4. Почему вам нужно изучать этот материал?
К настоящему времени должно быть ясно, что переход девятнадцатого века от вычислительного взгляда на математику к концептуальному был изменением внутри профессионального математического сообщества. Их, как профессионалов, интересовала сама природа математики. Для большинства ученых, инженеров и других людей, использующих математические методы в своей повседневной работе, все оставалось во многом таким же, как и раньше, и остается таким же и сегодня. Вычисления (и получение правильного ответа) остаются такими же важными, как и прежде, и используются даже более широко, чем когда-либо в истории.
В результате для любого, кто не принадлежит к математическому сообществу, этот сдвиг больше похож на расширение математической деятельности, чем на смену фокуса. Вместо того, чтобы просто изучать процедуры решения задач, студенты-математики на уровне колледжа сегодня также (т. Е. Дополнительно) должны овладеть базовыми концепциями и быть в состоянии обосновать методы, которые они используют.
Разумно ли требовать этого? Учитывая, что профессиональные математики, чья работа заключается в разработке новой математики и подтверждении ее правильности, нуждаются в таком концептуальном понимании, зачем делать это обязательным требованием для тех, чья цель — продолжить карьеру, в которой математика является всего лишь инструментом? (Например, инженерное дело.)
Есть два ответа, оба из которых имеют высокую степень достоверности. (спойлер: Это только кажется, что есть два ответа. При более глубоком анализе они оказываются одинаковыми.)
Во-первых, образование - это не только приобретение конкретных инструментов для использования в последующей карьере. Как одно из величайших творений человеческой цивилизации, математика должна преподаваться наряду с наукой, литературой, историей и искусством, чтобы передавать жемчужины нашей культуры из поколения в поколение. Мы, люди, - это гораздо больше, чем просто работа, которую мы выполняем, и карьера, которую мы делаем. Образование - это подготовка к жизни, и только частью этого является овладение конкретными рабочими навыками.
Этот первый ответ, безусловно, не должен требовать дальнейшего обоснования. Второй ответ касается проблемы инструментов для работы.
Нет никаких сомнений в том, что многие рабочие места требуют математических навыков. Действительно, в большинстве отраслей, практически на любом уровне, требования к математике оказываются выше, чем принято считать, как многие люди обнаруживают, когда ищут работу и обнаруживают, что их математическое образование недостаточно.
За многие годы мы привыкли к тому факту, что прогресс в индустриальном обществе требует рабочей силы, обладающей математическими навыками. Но если присмотреться повнимательнее, то эти навыки делятся на две категории. К первой категории относятся люди, которые, имея математическую задачу (то есть проблему, уже сформулированную в математических терминах), могут найти ее математическое решение. Ко второй категории относятся люди, которые могут взять новую проблему, скажем, на производстве, определить и описать ключевые особенности проблемы математически и использовать это математическое описание для точного анализа проблемы.
В прошлом существовал огромный спрос на сотрудников с навыками 1-го типа и небольшая потребность в талантах 2-го типа. Наш процесс обучения математике в значительной степени отвечал обеим потребностям. Она всегда была сосредоточена в первую очередь на производстве людей первого сорта, но некоторые из них неизбежно оказывались хороши и во втором виде деятельности. Так что все было хорошо. Но в современном мире, где компании должны постоянно внедрять инновации, чтобы оставаться в бизнесе, спрос смещается в сторону математических мыслителей 2—го типа - людей, которые могут мыслить вне математических рамок, а не внутри них. А теперь, внезапно, все пошло не так хорошо.
Всегда будет потребность в людях, владеющих целым рядом математических методов, способных работать в одиночку в течение длительного времени, глубоко сосредоточенных на конкретной математической задаче, и наша система образования должна поддерживать их развитие. Но в двадцать первом веке больший спрос будет на способности 2-го типа. Поскольку у нас нет названия для таких людей (“математически способные” или даже “математик” обычно подразумевают мастерство 1-го типа), я предлагаю дать им одно: инновационные математические мыслители.
Это новое поколение людей (ну, это не ново, я просто не думаю, что кто-то раньше обращал на них внимание) должно иметь, прежде всего, хорошее концептуальное (в оперативном смысле) понимание математики, ее силы, ее сферы применения, когда и как она может будут применяться и его ограничения. Они также должны будут хорошо владеть некоторыми базовыми математическими навыками, но это мастерство не обязательно должно быть блестящим. Гораздо более важным требованием является то, что они могут хорошо работать в командах, часто междисциплинарных, они могут видеть вещи по-новому, они могут быстро учиться и осваивать новую технику, которая кажется необходимой, и они очень хорошо адаптируют старые методы к новым ситуациям.
Как мы воспитываем таких людей? Мы концентрируемся на концептуальном мышлении, которое лежит в основе всех специфических методов математики. Помните старую пословицу: “Если вы дадите человеку рыбу, вы сможете сохранить ему жизнь на один день, но если вы научите его ловить рыбу, он сможет поддерживать себя в живых бесконечно”? То же самое относится и к математическому образованию для жизни в двадцать первом веке. Существует так много различных математических методов, при этом постоянно разрабатываются новые, что невозможно охватить их все в K-16 education. К тому времени, когда выпускник колледжа заканчивает обучение и поступает на работу, многие из специфических приемов, освоенных за эти четыре года обучения в колледже, скорее всего, уже не будут столь важны, в то время как новые методы становятся все более актуальными. Образовательный фокус должен быть направлен на то, чтобы научиться учиться.
Возрастающая сложность математики привела математиков в девятнадцатом веке к смещению (расширению, если хотите) фокуса с вычислительных навыков на базовые, основополагающие, концептуальные способности мышления. Теперь, 150 лет спустя, изменения в обществе, которым отчасти способствовала эта более сложная математика, сделали это изменение фокуса важным не только для профессиональных математиков, но и для всех, кто изучает математику с целью ее использования в мире.
Итак, теперь вы знаете не только, почему математики в девятнадцатом веке сместили фокус математических исследований, но и почему, начиная с 1950-х годов, студенты-математики колледжей должны были также овладеть концептуальным математическим мышлением. Другими словами, теперь вы знаете, почему ваш колледж или университет хочет, чтобы вы прошли этот переходный курс, и, возможно, проложите свой путь через эту книгу. Надеюсь, теперь вы также понимаете, почему это может быть важно для ты в том, чтобы жить своей жизнью, помимо насущной необходимости пережить курсы математики в колледже.
1 Другие цивилизации также развивали математику; например, китайская и японская. Но математика этих культур, по-видимому, не оказала прямого влияния на развитие современной западной математики, поэтому в этом кратком изложении я их проигнорирую.
