В данной статье мы поговорим о том, что такое системы линейных алгебраических уравнений (или СЛАУ), для чего они нужны и какие существуют методы их решения.
Что такое алгебраическое уравнение?
Алгебраическим уравнением называют уравнение (то есть равенство) такого вида:
Здесь простое обозначение, а именно: «P» — многочлен, который состоит из неизвестных переменных (те, что в скобках). Также, стоит отметить, что у алгебраических уравнений существует степень. Так, например, уравнение
является алгебраическим уравнением восьмой степени от двух переменных («x» и «y»). Восьмая степень, потому что у второго слагаемого x в четвёртой степени и y в четвёртой степени умножаются друг на друга.
Если степень многочлена равна единице, то уравнение называют линейным. Например, уравнение
является линейным уравнением от трёх неизвестных.
Системой линейных алгебраических уравнений называется условие, когда одновременно должны выполняться сразу несколько уравнений относительно нескольких переменных. Если мы возьмём несколько линейных алгебраических уравнений и объединим их в систему (система — это условие, которое заключается в одновременном выполнении нескольких уравнений), то получим систему линейных алгебраических уравнений (удивительно, правда?).
Стоит сказать, что существуют как линейные системы алгебраических уравнений, так и не линейные. В рамках данной статьи ограничимся СЛАУ.
В общем виде СЛАУ записывается так:
Здесь переменные «x» необходимо найти, коэффициенты «a» в левой части, так же, как и свободные члены «b» в правой части, должны быть известны. Индекс «n» показывает сколько в каждом уравнении неизвестных коэффициентов «x», а индекс «m» — сколько всего уравнений в системе.
В некоторых задачах (обычно эти задачи связанны с программированием) коэффициенты перед неизвестными в левой части обозначают так:
Здесь i — номер уравнения (строки), j — номер коэффициента (столбца) перед неизвестной.
Существует несколько случаев, связанных с СЛАУ:
1. Если каждый свободный член (коэффициенты правой части) равен нулю, то система будет называться однородной. Если же хотя бы один член будет отличен от нуля, то система будет считаться неоднородной.
2. Система бывает квадратной — случай, когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных («m» = «n»), и прямоугольной — когда количество уравнений не совпадает с количеством неизвестных («m» ≠ «n»).
3. Исходя из того, что система бывает прямоугольной, возникает два логичных вывода: если количество уравнений не совпадает с количеством неизвестных, то бывает случай, когда уравнений больше, чем неизвестных («m» > «n») — такая система называется переопределённой, и случай, когда уравнений меньше, чем неизвестных («m» < «n») — такая система называется недоопределённой.
Также система будет недоопределённой, если некоторые уравнения не будут давать нужной информации для решения СЛАУ:
Из примера видно, что систему нельзя решить, потому что некоторые уравнения "не связаны" друг с другом.
4. Также СЛАУ может быть совместной — когда у системы имеется хотя бы одно решение, и несовместной — когда у системы нет ни одного решения.
Кроме всего этого ещё выделяют определённую СЛАУ — систему с одним единственным решением, ну а система, у которой больше одного решения так же называют недоопределённой.
В некоторых математических задачах требуется найти решение СЛАУ. Решением систем уравнений является определённый набор чисел, при подстановке которых в каждое уравнение системы, в каждой строке обязательно выполняется равенство левой и правой части.
В данном примере решением системы уравнений является набор чисел
x = 4 и y = 1.
Ещё задачи можно интерпретировать геометрически: пусть нам дана система из двух уравнений прямых, тогда решением этой системы будет являться точка пересечения двух прямых линий на плоскости:
Бывает такое, что СЛАУ состоит из большого количества уравнений, в каждом из которых так же присутствует большое количество неизвестных. Поэтому очень удобно СЛАУ записывать в виде матриц:
Также иногда используют более сокращённую запись:
То есть, мы имеем матрицу системы A (которая состоит только из коэффициентов перед неизвестными), матрицу неизвестных X и матрицу свободных членов B. Благодаря представлению СЛАУ в матричной форме, СЛАУ становится намного легче решать (если решать какие-либо задачи, связанные с СЛАУ, при помощи программирования, так или иначе придётся представлять исходную систему в виде матрицы).
Зачем оно надо?
Если в бородатые времена СЛАУ составляли для того, чтобы решать примитивные бытовые задачи, то сейчас системы уравнений играют огромную роль в построении различных математических моделей. Системы уравнений составляются для решения дифференциальных уравнений, таких как уравнения математической физики. Не малую роль системы уравнений играют и при построении экономических задач.
На самом деле, мы можем даже и не догадываться, но пользоваться различными приборами, которые требуют для своего создания решения сложных систем уравнений. Для общего развития, конечно, стоит знать об их существовании и о некоторых методах их решения.
Методы решения
Вообще различают прямые (такие методы довольно легко решаются аналитически, при малом количестве неизвестных, и дают точный ответ) методы решения СЛАУ и итерационные (эти методы позволяют найти приближённый ответ в результате нескольких последовательных приближений, чем больше приближений — тем точнее ответ).
Конечно, прямые методы хоть и дают точный ответ, но стоит помнить, что чем больше уравнений — тем меньше эффективность метода (т.е. его скорость). Приведём несколько примеров прямых методов:
- Метод Крамера
- Метод Гаусса
- Матричный метод
- LU-разложение
- Разложение Холецкого (метод квадратного корня)
- Метод прогонки (для трёхдиагональной матрицы)
Прелесть итерационных методов в том, что при большом количестве уравнений, методы должны сохранять свою эффективность (по крайней мере эффективность снижается не столько много, сколько у прямых методов). Но у этих методов, конечно, есть свой явный минус: методы хоть и дают хорошие результаты, но они не точные. Чем больше будет произведено итераций (приближений), тем более приближённый к точному будет ответ. Обычно итерирование происходит до какой-то заданной погрешности. Несколько примеров итерационных методов:
- Метод простой итерации
- Метод Гаусса-Зейделя (модификация метода простой итерации)
- Метод релаксации
----------------------------------------------------------------------------------------
Надеюсь данная статья поможет понять, что такое СЛАУ, какими бывают системы уравнений, какие методы решения систем уравнений существуют и для чего СЛАУ нужны в жизни.
