О проблеме близнецов в теории чисел. Кочкарев Б. С.

В теории чисел близнецами называют пару простых чисел вида n, n + 2. Например, (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) . Известно, что французский математик Альфонс де Полиньяк обратил внимание на такие простые числа и у него возник вопрос конечно или бесконечно число таких пар простых чисел. В 2015 году в нашей статье " К методу спуска Ферма мы ввели аксиому спуска для бинарных математических утверждений: Пусть A(n) - бинарное математическое утверждение, зависящее от натурального параметра n такое, что 1) существует алгоритм, который для любого значения n дает ответ на вопрос "утверждение A(n) истинно или ложно" ; 2) для значений параметра n1, n2, ... , nк A(n1), A(n2), ... , A(nк) истинны, а для любого nк + 1 > nк A(nк + 1) ложно Тогда утверждение A(n) истинно для бесконечного множества значений n.

Теорема Множество близнецов бесконечно.

Доказательство. Допустим, что множество натуральных пар близнецов конечно. Первая пара натуральных близнецов - эт (3, 5), т.е. n1 = 3, n1 + 2 = 5, вторая пара - это (5, 7), т.е. n2 = 5, n2 + 2 = 7, ... , к-ая пара это (nк, nк +2), а для любого nк + 1 > nк пара (nк +1, nк + 1 +2) не является близнецами. Тогда по аксиоме спуска пара (nк, nк + 2) также не является близнецами, а это противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.

Можно рассматривать тройки [1, 367], четверки и т. д. простых чисел с возможно маленькими разностями. Для трех простых чисел p, p', p", где p>3, не может быть одновременно p' = p + 2 и p" = p'+2 = p + 4 [1, 367], так как одно из этих чисел обязательно будет делиться на 3. Наименьшие возможно маленькие разности между тремя простыми числами, отличными от 3, это разности p' - p = 2, p " - p' = 4 (или p' - p = 4, p" - p' = 2) [1. 367]. Английские математики Харди и Литлвуд поставили проблему доказательства существования бесконечного множества таких троек простых чисел: p, p' = p + 2 и p" = p + 6. По их мнению [1, 367] эта проблема по трудности значительно превосходит проблему существования бесконечного числа простых чисел близнецов. Однако эта проблема также как и проблема существования бесконечного числа простых чисел близнецов, является бинарной, и ее доказательство легко осуществляется с помощью аксиомы спуска.

Литература:

1. Бухштаб А. А. Теория чисел. Москва. Изд. "Просвещение" 1968 с. 384 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------*****************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************-