Сегодня мы разберём задание №5029 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это задание «высокого» уровня сложности на комбинаторику и основы теории чисел.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней.
В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
- A. Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
- B. Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?
- C. Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?
Рассуждаем
Данное задание отличается от прочих заданий теории чисел тем, что везде его можно описать чёткими зависимостями. Следовательно, решение можно найти, а не подобрать. В частности, числа фотографий, сделанных девочками, представляют собой арифметическую прогрессию, для которой есть известные формулы:
Необходимо будет выразить общее количество фотографий с их помощью.
Далее, из условия о разности общего количества фотографий, можно будет составить уравнение, которое позволит выразить число дней съёмки. В это уравнение войдёт в качестве множителя число 1001, которое очень кстати имеет всего лишь три множителя:
Таким образом, число дней съёмки будет также состоять из одного или нескольких этих множителей, что сокращает количество проверок.
Потом, для ответов на первый и второй вопрос достаточно будет подставить в формулу требуемое число дней, и можно будет сразу видеть, возможно ли такое число дней, и какие количества фотографий им соответствуют.
Для ответа на последний вопрос необходимо будет определить диапазон значений дней съёмки (из условия, что Маша в последний день сняла менее 40 фото), А далее, с учётом полученной формулы, надо будет взять максимальную разность между числом фото, снятыми Наташей и Машей (поскольку Наташа сняла больше), и по формуле суммы арифметической прогрессии получить значение числа фотографий, снятых Наташей. При этом придётся попробовать несколько вариантов, и выбрать наибольший.
План решения
- Выразим число снятых фотографий каждой из девочек в виде суммы арифметической прогрессии.
- Составим уравнение, используя условие о разности числа фотографий.
- Из полученного уравнения получим формулу числа дней съёмки.
- Проверим, может быть это число равным заданным значениям в первом и втором вопросе.
- Для ответа на последний вопрос определим наибольшее количество дней съёмки, потом наибольшую разницу между фотографиями, снимаемыми каждый день девочками, и посчитаем сумму фотографий снятых Наташей для полученного значения числа дней.
Решение
Поскольку каждый день снималось на одно фото больше, то оба значения (они обозначены n и m соответственно для Наташи и Маши, индекс – номер дня) можно представить в виде арифметической прогрессии с разностью 1. Пусть съёмка велась k > 1 дней. Тогда суммы прогрессий равны:
В условии дана разность этих величин:
Подставляем первое выражение во второе:
Для ответа на первые два вопроса найдём k из этого равенства. Уединяем свободный член, и выносим за скобки общий множитель:
Приводим подобные:
Откуда получаем:
Это значит, что разность между n и m должна делить числитель (число дней целое), и, следовательно, может принимать только значения (не забываем, что k > 1):
Теперь можно отвечать на вопросы.
А.
Подставим в формулу k = 7:
То есть, можем взять любое n, начиная с 143 (поскольку m должно быть неотрицательным). Результат будет одинаков. Например, пусть Наташа не любит фотографировать, и за первый день она сняла совсем мало, скажем, всего лишь 10000 фото. Тогда по дням девочки сняли:
Как видим, разность общего числа фотографий соответствует заданной, и это будет для любого значения n ≥ 143. То есть, ответ А: число дней съёмки может быть равно 7.
B.
Подставим в формулу k = 8:
К сожалению, и n и m – это целые неотрицательные числа, и при всём желании, как бы Наташа и Маша не любили съёмки, и сколько бы миллионов фотографий они не сняли, такую разницу в количестве фотографиях им получить не удастся. Так что ответ В: число дней съёмки не может быть равно 8
С.
Для расчёта максимального числа фотографий, найдём возможное число дней съёмки. Из условия следует:
А из полученной выше формулы следует:
То есть, существует только три значения для 1 < k < 40, подходящих для последней формулы:
Проверим, сколько фотографий максимально могли снять девочки. Учтём условие о максимальном значении m в последний день, и, получим, что в первый день Маша могла снять максимум:
Для максимальной суммы n, необходимо, чтобы разность была максимальной:
Из формулы для k > 1, полученной выше, имеем (третий множитель использовать нельзя, поскольку получится, что число дней равно единице):
А значит:
Подставляя в формулу суммы, получаем:
Таким образом, максимальное число фотографий, снятых Наташей, при условии, что разность общих чисел фотографий 1001 и последний день Маша сняла менее 40 штук, может быть равным только 1253. Надо признать, очень скромное число, фактически, можно считать, девочки вобще не занимались съёмкой, в Инсту им выложить будет явно нечего, и их подружки посчитают их лохушками, не понимающими, как важно для современной девушки выкладывать в Инстаграмм как можно больше фотографий.
Ну а мы можем получить ответ С: максимальное число фотографий, снятое Наташей, равно 1253.