Числовое соотношение в планиметрии [2].

Недавно в решении планиметрической задачи со вписанным 4-х угольником мне пришлось выражать отрезки, образованные точкой пересечения прямых, содержащих его противоположные стороны и ближайшими к ней вершинами. Получилось интересное, симметричное числовое соотношение, но его можно обобщить, получив соотношение для отрезков, которые отсекает от сторон треугольника окружность, проходящая через 2 вершины этого треугольника.

Числовое соотношение в планиметрии [2]

Итак, имеем ΔBCF и окружность Ω, проходящую через т. C, D, A, B. Интересующие нас сейчас отрезки -- это DF и AF.

Введём обозначения: l = DC, t = CB, d = AB, f = DA.

ABCD -- вписанный --> ∠ABC = ∠ADF --> ΔFDA ~ ΔFBC: FD/FB = DA/BC = FA/FC = f/t = FD/(FA+d) = FA/(FD+l)

На самом деле, мы уже почти получили желаемое. У нас 2 уравнения и 2 неизвестных: f/t = FD/(FA+d) но при этом f/t = FA/(FD+l)

Дальнейший вывод:

В итоге имеем FD = f(lf + dt)/(t² - f²)

По аналогии и второй отрезок. То, как именно в соотношении стоят величины можно понять "из однозначности происходящего в некоторых моментах)".

Формула достаточно интересная, т.к. позволяет больше и быстрее понимать соотношения, например, во всё том же вписанном 4-х уг-ке, похожей конструкции с треугольником и много где ещё... Так что пользуемся и пропагандируем!

Соотношение выведено самостоятельно, но оно может быть известно какому-то кругу людей.

Читайте также статью про импровизированный аналог теоремы Стюарта для равнобокой трапеции!)

Всем спасибо!