В статье приведена технология вычисления в Excel первой производной функции одного переменного.
В этой статье покажем, как вычислять в Excel производные более высоких порядков: второго и третьего. Для вычисления будем применять разностные формулы. Напомним их.
Для вычисления приближенного значения производной первого порядка применяются двухточечные и многоточечные методы.
Чаще других для вычисления первой производной применяется центральная разностная двухточечная формула (рис. 1)
Для более точного вычисления производной обычно применяются трех и четырехточечные формулы. Четырехточечная разностная формула
дает более точный результат, но требует большего количества вычислений и она трудоемка при использовании Excel.
Для вычисления второй производной предпочтительнее применять трехточечную центральную разностную формулу (рис. 3).
Для приближенного вычисления значений третьей производной чаще применяется четырехточечная разностная формула (рис. 4)
Приведем пример применения разностных формул для приближенного вычисления первой, второй и третьей производной непосредственно на рабочем листе.
Пример 1.
Вычислить производную F'(x)=2x^4 в точке х=1 с шагом h=0,1 .
Решим задачу, используя двухточечную формулу (рис. 1) и четырехточечную формулу (рис. 2)..
Макет рабочего листа для вычислений приведен на рис. 5, а результаты вычислений на рис. 6.
Можно заметить, что вычисление второй и третьей производной непосредственно на рабочем листе довольно трудоемкая задача. В случае, когда нужно вычислить несколько производных в заданных точках, например для построения графика, задача существенно усложняется.
В рамках статьи разработано приложение VBA, позволяющее рассчитывать производные для всех рассмотренных случаев и облегчающее решение задачи, когда нужно вычислить несколько значений производных одной или нескольких функций. .
Взаимодействие пользователя с приложением осуществляется с помощью диалогового окна (рис.7).
Пример 2. Построить графики второй и третьей производной функции у=1/2х^3 На интервале х{0:2) c шагом 0,1.
Решение
1.На рабочем листе создадим последовательность значений Х с шагом 0,1.(рис. 8).
2, Введем в ячейку D2 (в нашем случае) введем формулу =1/2*A2^3
3. Кликнем на кнопке Открыть окно диалога - откроется диалоговое окно Вычисление производных функции.
4. Используя диалоговое окно последовательно для каждого значения Х вычислим сначала значения второй, затем третьей производной.
5. Выделим диапазон А1: D22, включим мастер диаграмм и построим графики значений производных (рис. 8).
Приложение Excel-VBA для вычисления производных высших порядков можно скачать по ссылке здесь.