Начнём с простой задачи.
1. В прямоугольнике ABCD через точку O внутри прямоугольника провели прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Они разбили прямоугольник на четыре прямоугольника, периметры двух из них равны 50 и 70 (рис. 1). Найдите периметр прямоугольника ABCD.
Решение. В сумме периметров 50 + 70 = 120 заменим отрезки внутри прямоугольника ABCD отрезками на его сторонах: отрезки KO, LO, MO, NO заменим на отрезки равной длины BL, BK, DN, DM соответственно. Получим периметр прямоугольника ABCD. Искомый периметр равен 120.
Ответ. 120.
Задача легко обобщается для любых прямоугольников.
2. В прямоугольнике ABCD через точку O внутри прямоугольника провели прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Они разбили прямоугольник на четыре части. Докажите, что сумма периметров двух закрашенных частей равна периметру прямоугольника ABCD (рис. 2).
3. В треугольнике ABC стороны AB и BC разделили на три равные части. Точки деления соединили, как показано на рис. 3. Периметр треугольника BKL равен 21, а трапеции ANMC — 51. Найдите периметр трапеции NKLM.
Решение. Сумма периметров треугольника и трапеции равна
21 + 51 = 72. Она равна 2NK + 2LM + KL + NM + AC. Проведем из точек L и M прямые, параллельные AB. По теореме Фалеса эти прямые делят отрезки MN и AC на равные части. Причём эти части равны KL по свойству параллелограмма.
Получаем: MN = 2KL, AC = 3KL и 72 = 2NK + 2LM + KL + MN + AC =
= 2NK + 2LM + 6KL = 2(NK+ LM + 3KL) = 2(NK + KL + LM + MN).
Мы получили удвоенный периметр трапеции NKLM. Тогда периметр трапеции NKLM равен 36.
Ответ. 36.
И эту задачу можно обобщить.
4. В треугольнике ABC стороны AB и BC разделили на три равные части. Точки деления соединили, как показано на рис. 5. Они разбили треугольник на три части. Докажите, что сумма периметров двух закрашенных частей в два раза больше периметра трапеции KLMN.
Предлагать задачи учащимся можно по мере изучения материала, используемого в их решении.
Скачать статью. Четыре задачи с периметрами фигур