Приветствую всех любителей математики и физики! Давайте поговорим о том, как легко пошагово вывести формулу корней квадратного уравнения, и как доказать себе, что это не так уж страшно и совсем не сложно!
Итак, общий вид квадратного уравнения - это ax²+bx+c=0, где а, b и c - некоторые коэффициенты. Для нахождения корней используем подход, который часто называют выделением полного квадрата. Но, чтобы это сделать, нужно сначала либо разделить обе части на "а" (а не равно нулю), либо вынести "а" за скобки. Вот что получим:
Далее мы просто сравниваем эту запись с той формулой сокращенного умножения, которая называется "квадрат суммы". Я здесь запишу не через "а" и "b", как многие привыкли, а через "m" и "n", чтобы не путать с коэффициентами квадратного уравнения. Понятно, что в этом смысле "икс в квадрате" играет роль (или стоит на месте) "m в квадрате". То есть наш "x" - это первый член двучлена (бинома) "m". Выделяя во втором члене трехчлена "двойку", мы как бы "угадываем" третий член полного квадрата или второй член бинома. При этом третий член самого уравнения пока не трогаем:
Итак, второй член 2mn в записи ФКР это в нашем случае 2*Х*(b/2a). отсюда понятно, что второй член бинома это b/2a, и для того, чтобы дописать раскрытый бином, нам нужно этот член в квадрате добавить, как на следующем рисунке. Но мы не можем добавлять то, чего не было, поэтому затем мы его же вычтем! Это немного искусственный, но очень удобный, полезный и широко применяемый прием:
То есть выражение полностью сохранилось (мы как бы прибавили ноль, выраженный через прибавление и вычитание одной и той же величины). Зато теперь левые три члена - это тот самый выделенный полный квадрат! Понимаете?
Ну а дальше уже проще. Перенесем то, что не вошло в полный квадрат направо и возьмем корень из обеих частей:
Теперь берем квадратный корень, не забыв про модуль:
Ну и окончательно, поскольку у b/2a слева и у правого выражения знаменатили одинаковые, получаем:
Всё! Да, согласен, шагов немало, но все они очень логичные и одно вытекает из другого. Если разберетесь один раз, потом будет трудно забыть :)
На этом на сегодня всё. Если есть вопросы, пишите.
И поделитесь, как для вас, на сколько трудный/легкий этот вывод по шкале от 1 до 10? Где 10 - очень трудный, 1 - очень легкий.
Делитесь, пожалуйста, в комментариях. И до встречи!