Ферма еще в 17 -ом веке заметил, что все простые числа кроме 2 представимы в виде 4к + 1 и 4к - 1. Поскольку все такие натуральные числа при делении на 4 дают в остатке 1 и 3, то опишем алгоритм синтеза таких чисел. Самыми маленькими такими натуральными числами являются 5 и 3. 5 является самым маленьким простым числом, которое при делении на 4 дает в остатке 1. Если к 5 мы будем добавлять 4 до тех пор, пока не получим простое число, то следующим простым числом после пяти будет простое число 13. Если и далее будем к очередному полученному числу добавлять 4, то получим простое число 17. В этом процессе легко убедиться мы будем получать простые числа, которые являются суммами двух квадратов: 5 = 2 в квадрате + 1 в квадрате, 13 = 3 в квадрате + 2 в квадрате, 17 = 4 в квадрате + 1 в квадрате и т. д. Таким образом, мы получаем алгоритм образования простых чисел первого рода по классификации Ферма.
Если же аналогичный процесс мы применим к числу 3, то будем последовательно получать простые числа второго рода по классификации Ферма: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 и т. далее.