Доказательство одного изящного замечания Ферма. Кочкарев Б. С.

Еще в 17-ом веке великий математик-любитель Ферма заметил, что все простые числа кроме числа 2 представимы в виде 4к + 1 и 4к - 1, гле к - целое число, причем простые числа первого рода являются суммой двух квадратов, тогда как простые числа второго рода никогда таковыми не будут. Если мы все натуральные числа разобьем на классы в зависимости от того, какой остаток при делении натурального числа на 4 получится, то получим 4 класса. В один класс войдут все натуральные числа, которые делятся на 4. Второй класс составят все числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1. Третий класс составят натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 2 и, наконец , четвертый класс составят все числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Очевидно, все нечетные и простые числа окажутся во втором и четвертом классах. Мы в нашей работе "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы" доказали, что все простые числа из второго класса являются суммой двух квадратов, тогда как все простые числа из четвертого класса никогда таковыми не будут, так как все простые числа из четвертого класса являются простыми числами второго рода по классификации Ферма, а поэтому никогда суммой двух квадратов не будут, так как для любого простого числа из четвертого класса найдется квадрат превосходящий это простое число.