Задачи с треугольниками одни из самых распространённых, они встречаются как в первой части, так и во второй. В этой статье ты найдёшь все необходимые формулы и свойства для решения таких задач.
Типы треугольников по величине углов:
- Остроугольные — все углы острые;
- Тупоугольные — один из углов тупой;
- Прямоугольные — один из углов прямой.
Типы треугольников по сторонам:
- Разносторонний;
- Равнобедренный (две стороны равны);
- Равносторонний или правильный (все три стороны равны).
Напротив бо́льшего угла лежит бо́льшая сторона, напротив меньшего угла — меньшая сторона (и наоборот).
Следовательно, если , то a > b.
NB! Сумма длин двух любых сторон больше длины третьей:
a+b>c
a+c>b
b+c>a
Медиана
Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
Свойства:
- Все медианы треугольника пересекаются в одной точке;
- В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1);
- Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части, то есть на части с равными площадями;
- Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Биссектриса
Биссектриса — луч, начинающийся в вершине угла и делящий угол на два равных угла.
Свойства:
- Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника ― это центр вписанной окружности;
- Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Высота
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Свойство:
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Средняя линия
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства:
- Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.
- При пересечении всех трех средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному, с коэффициентом 1/2.
Вписанная окружность
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.
Свойства:
- Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника;
- В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Радиус вписанной окружности:
Описанная окружность
Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугольника.
Свойства:
- Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам;
- Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
Радиус описанной окружности:
Теорема синусов:
Периметр и площадь треугольника
Во многих формулах с треугольником используется полупериметр. Для использования этой формулы нам необходимо знать и сам периметр треугольника: P=a+b+c
Полупериметр — периметр пополам:
Площадь же треугольника можно найти пятью основными способами:
1. Зная сторону a и высоту h, проведенную к этой стороне:
2. Зная две стороны и угол между ними:
3. Зная три стороны (формула Герона):
4. Через радиус вписанной окружности и полупериметр треугольника:
5. Через радиус описанной окружности и три стороны:
Все формулы, представленные в статье, помогут вам в сдаче экзамена. Не забудьте выучить их и желаю успехов!