Сегодня рассмотрим задание №4405 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это задание «высокого» уровня сложности.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Пока – кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два решения.
Рассуждаем
Уравнение выглядит сложным. Однако, заметим, что пара одинаковых модулей входят в уравнение дважды – в первой и во второй степени. Следовательно, первое, что можно сделать для упрощения – это заменить эти два модуля временной переменной, и решить получающееся квадратное уравнение.
Его решение будет стандартным, но обратим внимание, что параметр, входящий в свободный член, окажется при решении под знаком корня, а сам он – будет в квадрате. Следовательно, при решении мы получим совокупность решений, в каждую из которых будет входить три модуля (два из замены, и один – корень квадрата).
Следующим шагом надо будет перейти на график в координатах x-a, и определить графики перемены знака в каждом из модулей. Поскольку параметр входит в подмодульное выражение в первой степени – графиками будут прямые. Три прямых могут разделить плоскость максимум на семь областей, в каждой из которых модули будут раскрываться со своими знаками. Отметим в каждой из этих областей характерные точки, чтобы легко определить знаки каждого модуля в каждой области.
Далее надо будет необходимо раскрыть каждое из двух уравнений получившейся совокупности для каждой из семи областей с соответствующими знаками. Получается 14 линейных уравнений, из которых необходимо отобрать лишь те, что будут проходить через соответствующую область. А из отобранных, проходящих через соответствующие области – мы получим окончательный график в координатах x-a, по которому и можно будет проследить количество корней.
Два решения будет соответствовать таким значениям параметра, при которых горизонтальная прямая a=const будет пересекать график уравнения в двух местах.
План решения
- Перенесём все вправо и сделаем замену.
- Найдём интервалы раскрытия модулей.
- Раскроем модули со всеми вариантами знаков.
- В каждом варианте найдём пересечение получившегося графика с графиком постоянного параметра.
- На каждом из интервалов параметра проверим соответствующие решения, и отберём те, которые соответствуют условиям.
Решение.
Исходное уравнение:
Под знаком квадрата то же выражение, что и далее в скобках, следовательно, можно сделать замену. Обозначим:
Заменяем:
Решаем квадратное уравнение (с помощью четверти дискриминанта):
Делаем обратную замену:
Переносим всё влево, и переходим к совокупности:
Точки, где модули меняют знак:
На графике с координатами x – a данные три точки разворачиваются в три прямые (фактически три решения представляют собой уравнения графиков), которые делят общую плоскость на семь областей. В каждой из областей модули раскрываются со своими знаками. Обозначим области характерными точками. Просто отметим точки, координаты которых будет удобно подставлять в уравнения и вычислять, так, чтобы они попадали в одну из семи областей. Каждая точка - в свою :
Изобразим получившиеся области (и точки) на графике:
Раскроем первое уравнение совокупности в каждой из этих областей(координаты точки вначале просто обозначают область для удобства):
Раскроем второе уравнение совокупности в каждой из этих областей:
Приводим подобные в первом уравнении в каждой области. Пустым множеством обозначим уравнения, графики которых не проходят через соответствующие области.
Первое уравнение:
Ни один график не попадает в области определения.
Второе уравнение:
Последний график не попадает в область определения.
Изобразим итоговый график решений:
График a = const – это горизонтальная прямая, уровень которой зависит от параметра. Чтобы этот график пересекал данный, необходимо, чтобы график был выше горизонтальной области верхней части данного графика, или чтобы график был ниже горизонтальной области нижней части. То есть, в ответ пойдёт совокупность:
Замечание
Для проверки решения построим анимированный график функции:
Параметр обозначим точкой на оси абсцисс:
Как видим, график пересекает ось абсцисс в двух указанных интервалах.