Теорема. Если натуральное число n, представимое в виде 4к + 1, где к- целое число есть сумма двух квадратов, то n простое число. Кочкарев Б.

Мы эту теорему доказали, используя аксиому спуска. Самое маленькое натуральное число, представимое в виде 4к + 1 получается при к = 1, которое равно 5. Очевидно, 5 = 2 в квадрате + 1 в квадрате. В этом случае наше утверждение истинно, так как 5 простое число. Следующее натуральное число, представимое в виде 4к + 1 получается при к = 3. Очевидно, это будет 13. 13 является суммой двух квадратов, так как 13 = 9 + 4 и оно является простым числом. Далее, мы предполагаем теорему справедливой до достаточно большого натурального числа nк, а для n> nк пусть это будет не так, т.е. для таких n натуральное число не является простым числом. Тогда по аксиоме спуска это справедливо для всех таких n.