После сложных заданий, рассмотрим простое. Это задание №4685 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Хотя, это задание «повышенного» уровня сложности, однако оно вполне по силам ученикам невысоких способностей.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Решите уравнение:
Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Рассуждаем
Уравнение выглядит простым. Достаточно возвести обе части в квадрат, после чего получаем три члена – квадрат переменной, первую степень с коэффициентом и свободный член. Приводим уравнение к каноническому виду, применяем известную формулу, получаем два корня, и выписываем меньший в ответ.
Однако, в этой обманчивой простоте есть один подвох, про который ни в коем случае нельзя забыть, чтобы не ошибиться. Поскольку решение мы ищем среди действительных чисел, подкоренное выражение может быть только неотрицательным, значение квадратного корня также может быть только неотрицательным. Возведение в квадрат может приводить к появлению ложных корней, которые должны быть отсеяны в ходе решения.
Поэтому начинать решение необходимо именно с этого шага – потребовать, чтобы подкоренное выражение и значение самого корня были неотрицательными. Поскольку справа в уравнении стоит чисто неизвестная, а в подкоренном выражении сумма этой неизвестной и положительной величины, то достаточно ограничиться одним условием, чтобы значение корня было неотрицательным. При этом подкоренное выражение автоматически получается положительным.
Лишь после постановки такого условия уравнение можно решать. И далее решение будет обычным решением квадратного уравнения через дискриминант.
Надо будет только не забыть после получения корней проверить их на поставленное ограничение.
План решения
- Установим ограничение на значение корня (и на значение правой части).
- Возведём обе части в квадрат.
- Приведём уравнение к каноническому виду.
- Решим квадратное уравнение через дискриминант.
- Проверим полученные корни на установленное ограничение, и найдём допустимые.
- Выпишем в ответ меньший из допустимых корней.
Решение.
Исходное уравнение:
Поскольку левая часть представляет собой квадратный корень, обе части уравнения должны быть неотрицательны:
Возводим обе части в квадрат:
Приводим к каноническому виду:
Решаем:
Учитываем условие неотрицательности основной переменной, указанное в самом начале, и окончательно получаем ответ: