Парадокс Галилея

В работе «Две Науки», Галилей привёл два "противоречащих" друг другу суждения о натуральных числах.

Первое: некоторые числа являются точными квадратами (то есть квадратами других целых чисел); другие же числа таким свойством не обладают. Таким образом, точных квадратов и обычных чисел вместе должно быть больше, чем просто точных квадратов.

Второе суждение: для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, и наоборот — для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень, поэтому точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество.

Галилей предложил судить об одинаковом количестве элементов только для конечных множеств.
В XIX веке Георг Кантор, используя свою теорию множеств, показал, что можно ввести «количество элементов» для бесконечных множеств — так называемая мощность множества. При этом мощности множества натуральных чисел и множества точных квадратов совпали.

===

Абстракция = договорённость между некоторыми людьми об отсекании свойств объекта части реального мира для применения к получившимся "полуфабрикатам" других абстракций - договорённостей между некоторыми людьми - о правилах, отношениях и т.п. (алгебрах)

И c этими абстракциями они делают, разные "операции".
Например давайте прибавлять к абстракции-числу абстракцию-1 абстрактно много-много раз и то, что получилось, назовём абстракцией "натуральные числа".
И договоримся, что "натуральные числа" бесконечно - ну а чё, в наших нами придуманных абстракциях-правилах ограничений же не видно.
И забудем, что это абстракция из абстракций, сделанная абстракциями - ведь наши абстракции математичны сами в себе!

И это реально классно - математика сильна и опасна.

Но если встретился с парадоксом, пора чуть отступить назад ...

Число - абстракция.
Добавление к числу 1 - абстракция.
Множество - абстракция.
Возведение в квадрат - абстракция абстракции ... функция - на входе число, на выходе квадрат.

И если вызывать функцию тыщамильёондонеба раз, то столько раз она и вернёт результат.

А чьё-то желание-суждение "складывать" эти результаты в абстракцию "множества" - это его личная неуместная абстракция, к математике без парадоксов не имеет отношения.
Ну отработала функция, ну вернула квадрат - это же абстракция, не обязательно из этого делать абстракцию "множество", пусть валяются по одному или кучами - это же лишь абстракции в абстракциях, сейчас они оказались не полезными.

Другими словами, применил к элементам бесконечности функцию бесконечно раз, она "быстренько" бесконечность обработала, выдала груду, сейчас не нужных квадратов, или кубов, и эта груда вызвала нездоровые ассоциации, срочно прикопай, пока не погряз в парадоксе - из полезного любопытства задействовал бесконечный обработчик бесконечностей -срочно выключай - не надо мусорить.

Не плодите множества без надобности.