Математический аппарат для работы с точками

Введение

Некоторое время назад я начал работу над математическим аппаратом для работы с точками. Возможно когда-нибудь кому-то это пригодится. Я же считаю довольно занимательным всё то, о чём пойдёт речь ниже и занимаюсь этим ради своего удовольствия.

Развивать материал можно в комментариях.

Аксиомы работы с точками

1. точки располагаются в афинной системе координат.
2. у каждой точки есть координаты по всем осям.
3. результатом сложения, вычитания, умножения, деления точек является точка, принадлежащая тому же множеству точек координат, что и исходные точки. Очевидно, что такие действия определены только для точек, лежащих в одной системе координат.
4. точка, получающаяся в результате сложения двух других точек имеет координаты - сумму соответствующих координат точек. Аналогично определяются умножение, деление и вычитание.

Определение других сущностей и действий

Возведение в степень

Возведение в степень здесь понимается как несколько последовательных умножений точки на саму себя, результатом возведения точки в степень является новая точка. Следовательно, определим возведение точки в степень как точку с координатами, полученными путём перемножения соответствующих координат точки n раз.

Угол между точками

Между двумя любыми точками есть угол - арктангенс от отношения модулей разности координат точек по оси oy и ox соответственно ( atan(|y1-y2|/|x1-x2|) ). На практике - угол между прямой параллельной одной из осей и прямой, соединяющей две точки.

Вектор направления

Две соседние точки на координатной плоскости являются вектором направления. Они находятся бесконечно близко друг к другу, так что пренебрежём длиной этого вектора. Получается, что вектор направления не имеет длины и имеет направление.

Перемножение двух векторов направления

Для того, чтобы перемножить два вектора направления необходимо построить новый вектор направления с координатами точек, полученными путём перемножения соответствующих точек двух исходных векторов направления.

Определение прямой

Прямая - бесконечное множество точек, лежащих на одной линии.

Прямая - бесконечная линейная структура, поэтому для её описания будет достаточно одного вектора направления, принадлежащего этой прямой.

Перемножение прямых

Результатом перемножения двух прямых является новая прямая. Чтобы её получить необходимо перемножить все соответствующие точки.

Метод упрощённого перемножения прямых

Так как прямая - бесконечная линейная структура, то для перемножения прямых достаточно перемножить векторы направления этих прямых, а затем провести прямую через новый вектор направления.

Луч

Луч - прямая, ограниченная с одной стороны.

Луч описывается точкой начала и вектором направления.

Отрезок

Отрезок - прямая, ограниченная с двух сторон.

Отрезок описывается точками начала и конца.

Кривые высшего порядка

Такие кривые имеют уникальный вектор направления в каждой точке. Зная точку и вектор направления можно получить следующую точку, но не вектор направления. Вектор направления же можно найти из точечно-направляющей функции - функция, которая описывает как изменяется вектор направления в зависимости от независимой переменной.

Заключение

Теория нуждается в доработке и критике, но начало положено. Исследования кривых высших порядков представляют особый интерес.