Генерирование комбинаторных объектов (часть 3)

В материале [https://dzen.ru/a/Y7VvO3pbCS6_qenS?share_to=link] читатель познакомился с четырьмя основными расчётными формулами (перестановка, размещения с повторениями, сочетание без повторений, сочетание с повторениями), позволяющими решать огромное число комбинаторных задач.

В материале [https://dzen.ru/a/Y7VzeXpbCS6_reX3?share_to=link] читатель познакомился с перестановками с повторениями.

Продолжим изложение этого материала, а также рассмотрим несколько примеров, связанных с комбинаторным числом сочетаний.

Пример о пятиэлементных подмножествам девятиэлементного множества

Пример о двоичных строках (битовых строках)

Пример о точках пересечения диагоналей выпуклого n-угольника

Пример о выбору двух чисел

При решении задач с использованием сочетаний без повторений полезно учитывать следующие свойства.

Свойство симметричности относительно центра (середины)

Свойство Паскаля

Бином Ньютона

Рассмотрим пример использования формулы, предложенной Ньютоном (бином Ньютона).

Пример использования бинома Ньютона

Отметим некоторые свойства бинома Ньютона.

Пример использования полиномиальной формулы

С сочетаниями также связана схема, называемая треугольником Паскаля.

Треугольник Паскаля с комбинаторными числами сочетаний без повторений

Треугольник Паскаля

Приведём несколько свойств треугольника Паскаля.

Свойства треугольника Паскаля

В качестве Упражнения 1 из заданной в таблице ниже пропорции, содержащей трижды число сочетаний, определите x и y.

Варианты для самостоятельного решения Упражнения 1

Пример решения 30-ого варианта:

В качестве Упражнения 2 определите коэффициент при слагаемом

Варианты для самостоятельного решения Упражнения 2

Пример решения 30-ого варианта: