Согласно Архимеду, известному греческому математику, родившемуся и жившему в сицилийском городе Сиракузы между 287 и 212 годами, для заполнения Вселенной необходимо 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 песчинок.
Именно такую сумму отразил Архимед в своем труде «Псиммит» или «Исчисление песчинок» - трактате, написанном для Гелона II, царя Сиракуз, который считается одним из первых известных научных изданий. В нем Архимед начинает с того, что одни думают, что песок нельзя сосчитать, а другие, что даже если бы это было так, то для этого числа нельзя было бы найти арифметического выражения. Предлагается продемонстрировать, что действительно возможно и то, и другое.
Есть люди, думающие, что число песчинок бесконечно. Я не говорю о песке в окрестности Сиракуз и других местах Сицилии, но о всем его количестве как в странах населенных, так и необитаемых.
Другие думают, что хотя число это и не бесконечно, но большего представить себе невозможно. Если бы эти последние вообразили массу песку в объеме земного шара, причем им были бы наполнены все моря и пропасти до вершин высочайших гор, то, конечно, они еще меньше могли бы поверить, что легко назвать число, его превосходящее.
Чтобы прийти к этой цифре, Архимеду пришлось выполнить ряд шагов:
1. Изобрести способ исчисления, превышающий миллиарды миллиардов.
Во-первых, ему пришлось изобрести систему обозначения чрезвычайно больших чисел. До этого самым большим числом, которое можно было выразить графически, было мириады (μυριάς), что было эквивалентно 10 000, а оттуда можно было подняться только до мириады мириад , что было эквивалентно 10 в восьмой степени. Архимед назвал числа до 10 в восьмой степени числами первого порядка. Затем он увеличил 10 в восьмой степени в 2 раза, получив 10 в шестнадцатой степени. Таким образом он создал числа второго порядка. Так Архимед продолжал до тех пор, пока не достиг порядка мириады мириад. Наибольшее число, которое удалось назвать Архимеду, было 10 в степени 8 x 10 в степени 16, что является единицей с 80 000 триллионами нулей.
2. Рассчитать размер Вселенной.
Поскольку у него уже были огромные числа, которые ему нужно было определить, пришло время перейти ко второй задаче - вычислению размера Вселенной. Для этого он использовал гелиоцентрическую модель, предложенную Аристархом Самосским, в которой Земля вращалась вокруг Солнца, а звезды оставались вокруг нее неподвижными.
Из трактата Аристарха, который, к сожалению, не дошел до наших дней, за исключением кратких упоминаний, можно сделать вывод, что он считал, что Вселенная имеет шарообразную форму и что диаметр ее сферы пропорционален диаметру солнечной орбиты Земли.
Исходя из этого Архимед пришел к выводу, что диаметр сферы Вселенной составляет около 3.8 километров в 14 степени (примерно 2 световых года).
3. Подсчитать количество песчинок, которые помещаются во Вселенной.
Теперь, когда он знал размер Вселенной, ему нужно было только рассчитать, сколько песчинок в ней поместится. Для этого он подсчитал, что 40 семян (мака или другого подобного растения), помещенных одно рядом с другим, эквивалентны греческому дактилю (ширина пальца, длина около 19 миллиметров). Таким образом, сфера диаметром в один дактиль содержала бы 64 000 семян. Затем он пришел к выводу, что каждое из этих семян может содержать 10 000 (мириады) песчинок. Следовательно, в сферу диаметром в один дактиль поместится 64 000 x 10 000 (640 миллионов) песчинок. Чтобы облегчить последующие расчеты, он округлил эту цифру до 1 миллиарда.
Архимед подсчитал, что длина греческого стадиона составляет 600 греческих футов (29,62 сантиметра), а каждая ступня состоит из 16 дактилей. Следовательно, в стадионе было 9600 дактилей. Это число Архимед округлил до 10 000 (мириады). 10 000 в кубе равно одному триллиону (10 в 12 степени). Умножив это число на количество песчинок в сфере диаметром в один дактиль (1 миллиард), мы получим 10 в 21 степени песчинку в сфере диаметром в один стадион.
Так как Архимед уже вычислил, что диаметр Вселенной составляет 3.8 километров в 14 степени, он заключил, что во вселенной будет 10 в 42 степени сфер диаметром в стадион. И если умножить количество этих сфер во вселенной на количество песчинок в одном стадионе, получится число 10 в 63 степени, или же 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 песчинок.
И зачем Архимеду знать, сколько песчинок помещается во Вселенной? Он далеко не сошел с ума. На самом деле, вычисление песчинок и размеров Вселенной было ни чем иным, как примером того, как нужно работать с чрезвычайно большими числами, которые мы перечисляли выше. Расчеты, которые ранее считались невозможными. По этой причине во всех расчетах Архимед делал приближения, округлял числа и всегда оговаривался, что полученное число превысит действительное количество песчинок.
Сегодня мы знаем, что Вселенная намного больше, чем подозревал Архимед. Но сколько песчинок поместится в ней?
