Однажды, во время объяснения теоремы Пифагора, один молодой человек(назовем его Ваня) спросил у меня: "Вот мы доказали теорему для этого чертежа, а откуда мне знать что на других чертежах получится то же самое?". Понятно что теорема Пифагора работает для любого прямоугольного треугольника, и существует множество доказательств, доказательство справедливо для каждого частного случая, у него есть и геометрические и алгебраические формы. Но как это показать? И быстро.
В общем сегодня вспомнил этот случай и решил накидать видео. Может кому пригодится для таких вот занятных случаев.
Для начала напомню доказательство теоремы Пифагора имени Леонардо да Винчи
Доказательство Леонардо да Винчи
К методу площадей относится также доказательство, приписываемое Леонардо да Винчи. По данным немецкого математика Франца Леммермейера (нем. Franz Lemmermeyer), в действительности это доказательство было придумано Иоганном Тобиасом Майером. Пусть дан прямоугольный треугольник △ABC с прямым углом C и квадраты ACED, BCFG и ABHJ (см. рисунок). В этом доказательстве на стороне HJ последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный △ABC, притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть JI=BC и HI=AC ). Прямая CI разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники △ABC и △JHI равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников CAJI и DABG, площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны — половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.
А теперь посмотрим на общий случай чертежа, заметим что квадрат гипотенузы не меняется, в отличие от всего остального. Мне так привычнее, объявлять гипотенузу равной 1 :)
Вот такое визуальное подтверждение.