Ферма еще в семнадцатом веке заметил, что все простые числа кроме числа 2 представимы в виде 4к + 1 и 4к - 1, причем простые числа первого рода являются суммой двух квадратов, а простые числа второго рода никогда таковыми не будут. Мы это утверждение доказали и опубликовали в нашей статье "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы" . В настоящей статье мы предлагаем методы синтеза таких простых чисел без пропусков.
Метод синтеза простых чисел первого рода. Первым самым маленьким простым числом первого рода является число 5. Второе простое число первого рода получается добавлением к пяти числа 4 столько раз, пока не получится простое число. Таким образом, таким вторым числом первого рода будет число 13. Далее для получения третьего простого числа первого рода мы процесс добавления четверок продолжаем. Если в процессе этого алгоритма получается составное число, то добавление четверок продолжается. Таким образом, мы получаем простые числа первого рода: 5, 13, 17, 29, 37, и т. д,
Синтез простых чисел второго рода, Первым простым числом второго рода является число 3. Второе простое число второго рода получается добавлением к 3 числа 4 столько раз, пока не получится простое число . Таким вторым простым числом второго рода будет, очевидно, 7. Далее процесс продолжается. Если в процессе выполнения алгоритма получаются составные числа, то добавление четверок продолжается. Таким образом, в процессе выполнения этого алгоритма мы получаем простые числа второго рода: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 и т. далее .